椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),过点p(1,3/2),其左右焦点分别为F1,F2.离心率e=1/2,M、N是椭圆右准线上的两个动点,向量F1M×向量F2N=0 求:MN的最小值
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/05 11:45:40
![椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),过点p(1,3/2),其左右焦点分别为F1,F2.离心率e=1/2,M、N是椭圆右准线上的两个动点,向量F1M×向量F2N=0 求:MN的最小值](/uploads/image/z/10146949-61-9.jpg?t=%E6%A4%AD%E5%9C%86x%5E2%2Fa%5E2%2By%5E2%2Fb%5E2%3D1%28a%EF%BC%9Eb%EF%BC%9E0%29%2C%E8%BF%87%E7%82%B9p%EF%BC%881%2C3%2F2%EF%BC%89%2C%E5%85%B6%E5%B7%A6%E5%8F%B3%E7%84%A6%E7%82%B9%E5%88%86%E5%88%AB%E4%B8%BAF1%2CF2.%E7%A6%BB%E5%BF%83%E7%8E%87e%3D1%2F2%2CM%E3%80%81N%E6%98%AF%E6%A4%AD%E5%9C%86%E5%8F%B3%E5%87%86%E7%BA%BF%E4%B8%8A%E7%9A%84%E4%B8%A4%E4%B8%AA%E5%8A%A8%E7%82%B9%2C%E5%90%91%E9%87%8FF1M%C3%97%E5%90%91%E9%87%8FF2N%3D0+%E6%B1%82%EF%BC%9AMN%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%B0%8F%E5%80%BC)
椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),过点p(1,3/2),其左右焦点分别为F1,F2.离心率e=1/2,M、N是椭圆右准线上的两个动点,向量F1M×向量F2N=0 求:MN的最小值
椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),过点p(1,3/2),其左右焦点分别为F1,F2.离心率e=1/2,M、N是椭圆右准线
上的两个动点,向量F1M×向量F2N=0 求:MN的最小值
椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),过点p(1,3/2),其左右焦点分别为F1,F2.离心率e=1/2,M、N是椭圆右准线上的两个动点,向量F1M×向量F2N=0 求:MN的最小值
先解这个椭圆:e=c/a=1/2,得a=2c 再由a^2=b^2+c^2得到b=(根号3)a/2
将P点带入椭圆解得:a=2,b=根号3.
交点坐标:F1:(-1,0 ) F2:(1,0)
右准线方程:x=a^2/c =4
所以不妨设设M(4,m),N(4,-n).其中m,n>0
【因为由向量F1M×向量F2N=0知两向量垂直,由垂直知M,N纵坐标异号,再由上下对称性知可以设M在上,N在下】
所以由斜率相乘为-1知:(m/(4+1))*(-n/(4-1))=-1,所以mn=15
有均值不等式可得m+n>=2 倍根号(mn)=2倍根号15.
所以MN的最小值是2倍根号15.