已知正项数列{an}的前n项和为Sn,对任意n属于N*都有(a1)3次方+(a2)3次方+(a3)3次方+…+an3次方=Sn平方.(1)求证:(an)平方=2Sn-an(2)求数列{an}的通项公式(3)若bn=2^n+(-1)^n ma是递增数列
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/03 23:43:22
![已知正项数列{an}的前n项和为Sn,对任意n属于N*都有(a1)3次方+(a2)3次方+(a3)3次方+…+an3次方=Sn平方.(1)求证:(an)平方=2Sn-an(2)求数列{an}的通项公式(3)若bn=2^n+(-1)^n ma是递增数列](/uploads/image/z/10740475-19-5.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E6%AD%A3%E9%A1%B9%E6%95%B0%E5%88%97%EF%BD%9Ban%EF%BD%9D%E7%9A%84%E5%89%8Dn%E9%A1%B9%E5%92%8C%E4%B8%BASn%2C%E5%AF%B9%E4%BB%BB%E6%84%8Fn%E5%B1%9E%E4%BA%8EN%2A%E9%83%BD%E6%9C%89%EF%BC%88a1%EF%BC%893%E6%AC%A1%E6%96%B9%2B%EF%BC%88a2%EF%BC%893%E6%AC%A1%E6%96%B9%2B%EF%BC%88a3%EF%BC%893%E6%AC%A1%E6%96%B9%2B%E2%80%A6%2Ban3%E6%AC%A1%E6%96%B9%3DSn%E5%B9%B3%E6%96%B9.%EF%BC%881%EF%BC%89%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9A%28an%29%E5%B9%B3%E6%96%B9%3D2Sn-an%EF%BC%882%EF%BC%89%E6%B1%82%E6%95%B0%E5%88%97%EF%BD%9Ban%EF%BD%9D%E7%9A%84%E9%80%9A%E9%A1%B9%E5%85%AC%E5%BC%8F%283%29%E8%8B%A5bn%3D2%5En%2B%28-1%29%5En+ma%E6%98%AF%E9%80%92%E5%A2%9E%E6%95%B0%E5%88%97)
已知正项数列{an}的前n项和为Sn,对任意n属于N*都有(a1)3次方+(a2)3次方+(a3)3次方+…+an3次方=Sn平方.(1)求证:(an)平方=2Sn-an(2)求数列{an}的通项公式(3)若bn=2^n+(-1)^n ma是递增数列
已知正项数列{an}的前n项和为Sn,对任意n属于N*都有(a1)3次方+(a2)3次方+(a3)3次方+…+an3次方=Sn平方.(1)求证:(an)平方=2Sn-an(2)求数列{an}的通项公式(3)若bn=2^n+(-1)^n ma是递增数列 ,求实数m的取值范围.关键是第三问
一二问已有答案
已知正项数列{an}的前n项和为Sn,对任意n属于N*都有(a1)3次方+(a2)3次方+(a3)3次方+…+an3次方=Sn平方.(1)求证:(an)平方=2Sn-an(2)求数列{an}的通项公式(3)若bn=2^n+(-1)^n ma是递增数列
1.S(n-1)^2=a1^3+a2^3+.+a(n-1)^3
Sn^2-S(n-1)^2=[Sn-S(n-1)]*[an+a(n-1)]=an[Sn+S(n-1)]=an^3
Sn+S(n-1)=an^2
2Sn-an=an^2
即(an)^2=2Sn-an
2.由2Sn=an^2+an
2S(n-1)=[a(n-1)}^2+a(n-1)
则2an=an^2+an-a(n-1)^2-a(n-1)
an+a(n-1)=[an+a(n-1)][an-a(n-1)]
∵是正项数列{an}
∴an-a(n-1)=1
即{an}是公差为1的等差数列,2S1=2a1=a1^2+a1 a1=a1^2 a1=1
∴an=a1+(n-1)=n
3.bn=2^n+(-1)^n man=2^n+mn*(-1)^n
若bn是递增数列,则bn-b(n-1)>0
即2^(n-1)+mn*(-1)^n-m(n-1)*(-1)^(n-1)>0
(a)n为奇数时,2^(n-1)-mn-mn+m>0 2^(n-1)>2mn-m 恒成立
只要n=1成立即可,此时2m-mm-2mn恒成立
只要n=2成立即可,此时m-4m-2/3
综上:-2/3
有数学归纳法。得出一二问结果,an=n, 对于第二问。
可以作差。bn-b(n-1)=2^(n-1)+(-1)^n*m*(2*n-1).对n分奇偶讨论,并合并成式子
|m|<2^(2*n-1)/(2*n-1)恒成立。于是转化成求右式的最小值,易知|m|<2/3.
第一二问 an=n
第三问
b(n+1)>=bn得 2^(n+1)+(-1)^(n+1)*m*n>=2^n+(-1)^n*m*n
有 2^n>=(-1)^n*(2*n+1)*m
(1)n为偶数时 不妨令n=2*k k=1,2,3,4.....
有 m<=2^(2*k) / (4*k+1) 得 ...
全部展开
第一二问 an=n
第三问
b(n+1)>=bn得 2^(n+1)+(-1)^(n+1)*m*n>=2^n+(-1)^n*m*n
有 2^n>=(-1)^n*(2*n+1)*m
(1)n为偶数时 不妨令n=2*k k=1,2,3,4.....
有 m<=2^(2*k) / (4*k+1) 得 m<= 0.8
(2)n为奇数时 不妨令n=2*k-1 k=1,2,3,4.....
有 m>=(-1)*2^(2*k-1)/(4*k-1) 得 m>=-2/3
检查 特值 -2/3<=m<=0.8
收起