设函数f(x)=根号(x^2+1)-ax(1)当a≥1时,试证函数f(x)在区间[0,+∞)上是减函数;(2)当0<a<1,试证函数f(x)在区间[0,+∞)上不是单调函数.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/06 19:35:58
![设函数f(x)=根号(x^2+1)-ax(1)当a≥1时,试证函数f(x)在区间[0,+∞)上是减函数;(2)当0<a<1,试证函数f(x)在区间[0,+∞)上不是单调函数.](/uploads/image/z/11560036-4-6.jpg?t=%E8%AE%BE%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%3D%E6%A0%B9%E5%8F%B7%28x%5E2%2B1%29-ax%EF%BC%881%EF%BC%89%E5%BD%93a%E2%89%A51%E6%97%B6%2C%E8%AF%95%E8%AF%81%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%E5%9C%A8%E5%8C%BA%E9%97%B4%5B0%2C%2B%E2%88%9E%29%E4%B8%8A%E6%98%AF%E5%87%8F%E5%87%BD%E6%95%B0%EF%BC%9B%EF%BC%882%EF%BC%89%E5%BD%930%EF%BC%9Ca%EF%BC%9C1%2C%E8%AF%95%E8%AF%81%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%E5%9C%A8%E5%8C%BA%E9%97%B4%5B0%2C%2B%E2%88%9E%29%E4%B8%8A%E4%B8%8D%E6%98%AF%E5%8D%95%E8%B0%83%E5%87%BD%E6%95%B0.)
设函数f(x)=根号(x^2+1)-ax(1)当a≥1时,试证函数f(x)在区间[0,+∞)上是减函数;(2)当0<a<1,试证函数f(x)在区间[0,+∞)上不是单调函数.
设函数f(x)=根号(x^2+1)-ax
(1)当a≥1时,试证函数f(x)在区间[0,+∞)上是减函数;
(2)当0<a<1,试证函数f(x)在区间[0,+∞)上不是单调函数.
设函数f(x)=根号(x^2+1)-ax(1)当a≥1时,试证函数f(x)在区间[0,+∞)上是减函数;(2)当0<a<1,试证函数f(x)在区间[0,+∞)上不是单调函数.
(1)当a<=0时,-ax在[0,+∞)上递增,√(x2+1)在[0,+∞)也递增,
所以f(x)在[0,+∞)上递增,为单调函数.
(2)当a>0时,利用单调函数定义可以判断f(x)当a>=1时为单调减函数.
判断如下:假设0<x1<x2,f(x1)-f(x2)=
(√(x12+1)-ax1)-(√(x22+1)-ax2)=(√(x12+1)-√(x22+1))-a(x1-x2)
=(x12-x22)/(√(x12+1)+√(x22+1))-a(x1-x2)
=(x1-x2)(x1+x2)/(√(x12+1)+√(x22+1))-a(x1-x2)
=(x1-x2)[(x1+x2)/(√(x12+1)+√(x22+1))-a]
因为√(x12+1)+√(x22+1)>=x1+x2,
所以)(x1+x2)/(√(x12+1)+√(x22+1)<=1,
所以当a>=1时(x1-x2)[(x1+x2)/(√(x12+1)+√(x22+1))-a]>=0成立,
则f(x)为减函数.
当a<1时)[(x1+x2)/(√(x12+1)+√(x22+1))-a]的正负不能确定,所以f(x)
不具有单调性.
综合得到函数f(x)在[0,+∞)上为单调性时,a的范围是;a<=0或a>1.
(下面附上,a=-1增函数,a=0.5有时减有时增不单调,a=1.5减函数,请你作比较和观察.)
哎,赶作业