如图,在三角形ABC中,AD是BC边上的中线,且AE垂直于BC于E,是说明AB^2-AC^2=2BC×DE
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/03 15:23:24
![如图,在三角形ABC中,AD是BC边上的中线,且AE垂直于BC于E,是说明AB^2-AC^2=2BC×DE](/uploads/image/z/11675398-22-8.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE%2C%E5%9C%A8%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2ABC%E4%B8%AD%2CAD%E6%98%AFBC%E8%BE%B9%E4%B8%8A%E7%9A%84%E4%B8%AD%E7%BA%BF%2C%E4%B8%94AE%E5%9E%82%E7%9B%B4%E4%BA%8EBC%E4%BA%8EE%2C%E6%98%AF%E8%AF%B4%E6%98%8EAB%5E2-AC%5E2%3D2BC%C3%97DE)
如图,在三角形ABC中,AD是BC边上的中线,且AE垂直于BC于E,是说明AB^2-AC^2=2BC×DE
如图,在三角形ABC中,AD是BC边上的中线,且AE垂直于BC于E,是说明AB^2-AC^2=2BC×DE
如图,在三角形ABC中,AD是BC边上的中线,且AE垂直于BC于E,是说明AB^2-AC^2=2BC×DE
在直角三角形ABE中,由勾股定理,得,AB^2=BE^2+AE^2,
同理,AC^2=AE^2+CE^2
所以AB^2-AC^2
=(BE^2+AE^2)-(AE^2+CE^2)
=BE^2-CE^2
=(BE+CE)(BE-CE)
=BC*(BE-CE)
因为BE=BD+DE,BD=CD
所以原式=BC(BD+DE-CE)
=BC(CD+DE-CE)
=BC*(DE+DE)
=2BC×DE
因为AE垂直于BC,所以由勾股定理得
AB^2=BE^2+AE^2……①
AC^2=CE^2+AE^2……②
①-②可得
AB^2-AC^2=BE^2-CE^2……③(两边可以同时为负)
而BE=BD+DE,CE=CD-DE(DE可以为负值)
带入③,用完全平方展开,可得到
AB^2-AC^2=BD^2+2*BD*DE+DE^2-CD^2+2...
全部展开
因为AE垂直于BC,所以由勾股定理得
AB^2=BE^2+AE^2……①
AC^2=CE^2+AE^2……②
①-②可得
AB^2-AC^2=BE^2-CE^2……③(两边可以同时为负)
而BE=BD+DE,CE=CD-DE(DE可以为负值)
带入③,用完全平方展开,可得到
AB^2-AC^2=BD^2+2*BD*DE+DE^2-CD^2+2*CD*DE-DE^2
整理得到
AB^2-AC^2=(BD^2-CD^2)+2*(BD+CD)*DE
又因为BD=CD,且BD+CD=BC
所以AB^2-AC^2=2BC*DE
收起