有关向量的计算已知向量a=(cosα,sinα),b=(2cosβ,2sinβ),若实数k使|ka+b|=|a-kb|成立,求满足不等式 a与b的数量积≥0的k的取值范围.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/05 17:55:18
![有关向量的计算已知向量a=(cosα,sinα),b=(2cosβ,2sinβ),若实数k使|ka+b|=|a-kb|成立,求满足不等式 a与b的数量积≥0的k的取值范围.](/uploads/image/z/12499236-36-6.jpg?t=%E6%9C%89%E5%85%B3%E5%90%91%E9%87%8F%E7%9A%84%E8%AE%A1%E7%AE%97%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E5%90%91%E9%87%8Fa%3D%28cos%CE%B1%2Csin%CE%B1%29%2Cb%3D%282cos%CE%B2%2C2sin%CE%B2%29%2C%E8%8B%A5%E5%AE%9E%E6%95%B0k%E4%BD%BF%7Cka%2Bb%7C%3D%7Ca-kb%7C%E6%88%90%E7%AB%8B%2C%E6%B1%82%E6%BB%A1%E8%B6%B3%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F+a%E4%B8%8Eb%E7%9A%84%E6%95%B0%E9%87%8F%E7%A7%AF%E2%89%A50%E7%9A%84k%E7%9A%84%E5%8F%96%E5%80%BC%E8%8C%83%E5%9B%B4.)
有关向量的计算已知向量a=(cosα,sinα),b=(2cosβ,2sinβ),若实数k使|ka+b|=|a-kb|成立,求满足不等式 a与b的数量积≥0的k的取值范围.
有关向量的计算
已知向量a=(cosα,sinα),b=(2cosβ,2sinβ),若实数k使|ka+b|=|a-kb|成立,
求满足不等式 a与b的数量积≥0的k的取值范围.
有关向量的计算已知向量a=(cosα,sinα),b=(2cosβ,2sinβ),若实数k使|ka+b|=|a-kb|成立,求满足不等式 a与b的数量积≥0的k的取值范围.
解
因为ka+b=(kcosα+2cosβ,ksinα+2sinβ)
a-kb=(cosα-2kcosβ,sinα-2ksinβ)
又|ka+b|=|a-kb|
所以 (kcosα+2cosβ)^2+(ksinα+2sinβ)^2=(cosα-2kcosβ)^2+(sinα-2ksinβ)^2
整理得cos(α-β)=(3k^2-3)/8k
又a与b的数量积≥0 即cosα*2cosβ+sinα*2sinβ≥0
所以2cos(α-β)≥0
即cos(α-β)≥0
所以(3k^2-3)/8k≥0
即(k+1)(k-1)/k≥0
解得 -1≤k<0或k≥1
ka+b|=|a-kb|
即|(kcosα,ksinα)+(2cosβ,2sinβ)|=|(cosα,sinα)-(2kcosβ,2ksinβ)|
k^2+4+4kcos(α-β)=1+4k^2-4kcos(α-β)
cos(α-β)=3(k^2-1)/(8k)
要使 a*b=2cos(α-β)>=0
只需 3(k^2-1)/4k>=0
即 k>0