设函数f(x)是定义在[-1,1]上的偶函数,g(x)与f(x)的图象关于直线x-1=0对称,且当x∈[2,3]时,g(x)=2a(x-2)-4(x-2)^3(a为实数)(1)求函数f(x)表达式(2)设a∈(6,+∞),求a的值使f(x)的图象最高点落在y=12
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/29 21:55:10
![设函数f(x)是定义在[-1,1]上的偶函数,g(x)与f(x)的图象关于直线x-1=0对称,且当x∈[2,3]时,g(x)=2a(x-2)-4(x-2)^3(a为实数)(1)求函数f(x)表达式(2)设a∈(6,+∞),求a的值使f(x)的图象最高点落在y=12](/uploads/image/z/13869061-61-1.jpg?t=%E8%AE%BE%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%E6%98%AF%E5%AE%9A%E4%B9%89%E5%9C%A8%5B-1%2C1%5D%E4%B8%8A%E7%9A%84%E5%81%B6%E5%87%BD%E6%95%B0%2Cg%28x%29%E4%B8%8Ef%28x%29%E7%9A%84%E5%9B%BE%E8%B1%A1%E5%85%B3%E4%BA%8E%E7%9B%B4%E7%BA%BFx-1%3D0%E5%AF%B9%E7%A7%B0%2C%E4%B8%94%E5%BD%93x%E2%88%88%5B2%2C3%5D%E6%97%B6%2Cg%28x%29%3D2a%28x-2%29-4%28x-2%29%5E3%28a%E4%B8%BA%E5%AE%9E%E6%95%B0%EF%BC%89%EF%BC%881%EF%BC%89%E6%B1%82%E5%87%BD%E6%95%B0f%EF%BC%88x%EF%BC%89%E8%A1%A8%E8%BE%BE%E5%BC%8F%EF%BC%882%EF%BC%89%E8%AE%BEa%E2%88%88%286%2C%2B%E2%88%9E%EF%BC%89%2C%E6%B1%82a%E7%9A%84%E5%80%BC%E4%BD%BFf%28x%29%E7%9A%84%E5%9B%BE%E8%B1%A1%E6%9C%80%E9%AB%98%E7%82%B9%E8%90%BD%E5%9C%A8y%3D12)
设函数f(x)是定义在[-1,1]上的偶函数,g(x)与f(x)的图象关于直线x-1=0对称,且当x∈[2,3]时,g(x)=2a(x-2)-4(x-2)^3(a为实数)(1)求函数f(x)表达式(2)设a∈(6,+∞),求a的值使f(x)的图象最高点落在y=12
设函数f(x)是定义在[-1,1]上的偶函数,g(x)与f(x)的图象关于直线x-1=0对称,且当x∈[2,3]时,g(x)=2a(x-2)-4(x-2)^3(a为实数)
(1)求函数f(x)表达式
(2)设a∈(6,+∞),求a的值使f(x)的图象最高点落在y=12上(不要求导)
设函数f(x)是定义在[-1,1]上的偶函数,g(x)与f(x)的图象关于直线x-1=0对称,且当x∈[2,3]时,g(x)=2a(x-2)-4(x-2)^3(a为实数)(1)求函数f(x)表达式(2)设a∈(6,+∞),求a的值使f(x)的图象最高点落在y=12
1.
设:A(x,y)是f(x)上的点,且x∈[-1,0]
则:A点关于x=1的对称点A'(2-x,y)必在g(x)上
∵x∈[-1,0]
∴2-x∈[2,3]
∴A'(2-x,y)满足g(x)=2a(x-2)-4(x-2)^3
得:y=4x^3-2ax
∴当x∈[-1,0]时,f(x)=4x^3-2ax
当x∈(0,1]时,-x∈[-1,0]
∴-x满足上式
代入得:f(-x)=-4x^3+2ax
∵f(x)是偶函数
∴f(x)=f(-x)=-4x^3+2ax
综上:f(x)=4x^3-2ax(-1≤x≤0) -4x^3+2ax(0<x≤1)
2.
求导
f'(x)=12x^2-2a(-1≤x≤0) -12x^2+2a(0<x≤1)
当-1≤x≤0时,x^2≤1,12x^2≤12
∵a>6,2a>12
∴f'(x)=12x^2-2a<0
∴f(x)在[-1,0]上单调递减
当0<x≤1时,x^2≤1,-12x^2≥-12
∵2a>12
∴f'(x)=-12x^2+2a>0
∴f(x)在(0,1]上单调递增
∴f(x)最大值为f(1)=f(-1)=2a-4=12
∴a=8