在三角形ABC中,角BAC=90度,AB=AC,P为BC上的一点,求证2分之1(BP的平方+PC的平方)=PA的平方没有图,自己画
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/04 19:44:14
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在三角形ABC中,角BAC=90度,AB=AC,P为BC上的一点,求证2分之1(BP的平方+PC的平方)=PA的平方没有图,自己画
在三角形ABC中,角BAC=90度,AB=AC,P为BC上的一点,求证2分之1(BP的平方+PC的平方)=PA的平方
没有图,自己画
在三角形ABC中,角BAC=90度,AB=AC,P为BC上的一点,求证2分之1(BP的平方+PC的平方)=PA的平方没有图,自己画
过程挺复杂,需要用到余弦定理,推导过程如下:
首先设PA=a,PB=b,PC=c,
则BC=b+c.
因为是等腰直角三角形,可设AB=AC=R,则
BC=根号2R
所以b+c=根号2R. (1式)
因为,根据已知条件定理,角BPA+角APC=180°
所以,根据三角函数定理,CosBPA=-CosAPC,
所以,根据余弦定理,以及所设的AB、AC、BC等边,可得如下式子:
(a方+c方-R方)/2ac=-(a方+b方-R方)/2ab,
由此化简后,可得
a方=R方-bc (2式)
根据1式,R=(b+c)/根号2 (3式)
将3式代入2式,得
a方=〔(b+c)/根号2〕方-bc
a方=1/2*(b+c)方-bc
再化简,得
a方=1/2(b方+c方)+bc-bc
a方=1/2(b方+c方)
即
PA方=1/2(BP方+PC方) 得证.