如何证明a·b=|a|·|b| cosθ这个公式关于平面向量的数量积课本上直接给出了这个公式,但我不知道怎么证明它求高手指点,感激不尽!我会追加分的我觉得应该可以证明,只是不知道如何下手从图
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/05 20:10:08
![如何证明a·b=|a|·|b| cosθ这个公式关于平面向量的数量积课本上直接给出了这个公式,但我不知道怎么证明它求高手指点,感激不尽!我会追加分的我觉得应该可以证明,只是不知道如何下手从图](/uploads/image/z/1747853-53-3.jpg?t=%E5%A6%82%E4%BD%95%E8%AF%81%E6%98%8Ea%C2%B7b%3D%7Ca%7C%C2%B7%7Cb%7C+cos%CE%B8%E8%BF%99%E4%B8%AA%E5%85%AC%E5%BC%8F%E5%85%B3%E4%BA%8E%E5%B9%B3%E9%9D%A2%E5%90%91%E9%87%8F%E7%9A%84%E6%95%B0%E9%87%8F%E7%A7%AF%E8%AF%BE%E6%9C%AC%E4%B8%8A%E7%9B%B4%E6%8E%A5%E7%BB%99%E5%87%BA%E4%BA%86%E8%BF%99%E4%B8%AA%E5%85%AC%E5%BC%8F%2C%E4%BD%86%E6%88%91%E4%B8%8D%E7%9F%A5%E9%81%93%E6%80%8E%E4%B9%88%E8%AF%81%E6%98%8E%E5%AE%83%E6%B1%82%E9%AB%98%E6%89%8B%E6%8C%87%E7%82%B9%2C%E6%84%9F%E6%BF%80%E4%B8%8D%E5%B0%BD%21%E6%88%91%E4%BC%9A%E8%BF%BD%E5%8A%A0%E5%88%86%E7%9A%84%E6%88%91%E8%A7%89%E5%BE%97%E5%BA%94%E8%AF%A5%E5%8F%AF%E4%BB%A5%E8%AF%81%E6%98%8E%EF%BC%8C%E5%8F%AA%E6%98%AF%E4%B8%8D%E7%9F%A5%E9%81%93%E5%A6%82%E4%BD%95%E4%B8%8B%E6%89%8B%E4%BB%8E%E5%9B%BE)
如何证明a·b=|a|·|b| cosθ这个公式关于平面向量的数量积课本上直接给出了这个公式,但我不知道怎么证明它求高手指点,感激不尽!我会追加分的我觉得应该可以证明,只是不知道如何下手从图
如何证明a·b=|a|·|b| cosθ这个公式
关于平面向量的数量积
课本上直接给出了这个公式,但我不知道怎么证明它
求高手指点,感激不尽!
我会追加分的
我觉得应该可以证明,只是不知道如何下手
从图像(坐标)角度来讲:
a=(x1,y1),b=(x2,y2),那么a·b=x1·x2+y1·y2 是个常数;
而 a·b=|a|·|b|cosθ
又|a|=根号下[(x1)2+(y1)2],|b|=根号下[(x2)2+(y2)2]
cosθ也应该可以用x1,y1,x2,y2来表示(画图象来表示)
那么就应该可以证明x1·x2+y1·y2 =|a|·|b|cosθ
也就可以证明a·b=|a|·|b| cosθ这个公式了
.
.
不知道我的想法是否正确,请指教!!!(并且帮忙解答一下)
.
我觉得这个公式一定有证明的过程,每个公式都应该有的
如何证明a·b=|a|·|b| cosθ这个公式关于平面向量的数量积课本上直接给出了这个公式,但我不知道怎么证明它求高手指点,感激不尽!我会追加分的我觉得应该可以证明,只是不知道如何下手从图
a·b=x1·x2+y1·y2
|a||b|cosθ =|a||b|*(|a|^2+|b|^2-(y1-y2)^2-(x1-x2)^2)/2|a||b|
=(x1^2+y1^2+x2^2+y2^2-x1^2-x2^2-y1^2-y2^2+2*x1x2+2*y1y2)/2
=x1y1+x2y2
得证
就是向量相乘的结果定理吧?
向量相乘,模等于两者模的乘积;
至于角度,相当于把a向量逆时针方向旋转b向量的角度
这个不用证明的,因为它是一个定义,也就是定义这种算法就叫向量的数量积,至于为什么要这样,那不是一个高中生需要知道的
a与b的点乘可以看作力a在位移b上做的功
那么a在b方向上的分力记为Prjba=|a|*cos|a,b|(|a,b|为a,b间夹角)
所做功为W=|b|*Prjba=|a||b|cos|a,b|
定义,无法证明。
用图象法证明
A向量的模*cosθ就是他的投影
向量相乘,模等于两者模的乘积;
至于角度,相当于把a向量逆时针方向旋转b向量的角度
a与b的点乘可以看作力a在位移b上做的功
那么a在b方向上的分力记为Prjba=|a|*cos|a,b|(|a,b|为a,b间夹角)
所做功为W=|b|*Prjba=|a||b|cos|a,b|...
全部展开
用图象法证明
A向量的模*cosθ就是他的投影
向量相乘,模等于两者模的乘积;
至于角度,相当于把a向量逆时针方向旋转b向量的角度
a与b的点乘可以看作力a在位移b上做的功
那么a在b方向上的分力记为Prjba=|a|*cos|a,b|(|a,b|为a,b间夹角)
所做功为W=|b|*Prjba=|a||b|cos|a,b|
收起
证出来的都是瞎掰还什么图像法 如果没有点积的定义哪来的什么投影之类的名词
这就是点积的定义 LS和第一楼 第四楼的都是由这个定义给出来的解释
用图象法证明
A向量的模*cosθ就是他的投影
A向量的模*cosθ就是他的投影
向量相乘,模等于两者模的乘积;
至于角度,相当于把a向量逆时针方向旋转b向量的角度
a与b的点乘可以看作力a在位移b上做的功
那么a在b方向上的分力记为Prjba=|a|*cos|a,b|(|a,b|为a,b间夹角)
所做功为W=|b|*Prjba=|a||b|cos|a,b|...
全部展开
A向量的模*cosθ就是他的投影
向量相乘,模等于两者模的乘积;
至于角度,相当于把a向量逆时针方向旋转b向量的角度
a与b的点乘可以看作力a在位移b上做的功
那么a在b方向上的分力记为Prjba=|a|*cos|a,b|(|a,b|为a,b间夹角)
所做功为W=|b|*Prjba=|a||b|cos|a,b|
收起
数学中定义a点乘b等于a的模乘以b的模再乘以向ab夹角的余弦,这个公式是一个定义式,所以不存在证明.
你给出的证明中"a·b=x1·x2+y1·y2 ",是根据这个定义式推出来的.或者说,这是a点乘b的另一种定义.
你可以想想公式S=VT.路程等于速度乘以时间,这就是定义式一个例子,你能告诉我这个公式怎么证明麽?...
全部展开
数学中定义a点乘b等于a的模乘以b的模再乘以向ab夹角的余弦,这个公式是一个定义式,所以不存在证明.
你给出的证明中"a·b=x1·x2+y1·y2 ",是根据这个定义式推出来的.或者说,这是a点乘b的另一种定义.
你可以想想公式S=VT.路程等于速度乘以时间,这就是定义式一个例子,你能告诉我这个公式怎么证明麽?
收起
这也可证明??
向量相乘是实数,ab.cosA也是实数!数学界就这样定义的!!
难道还要证明地球为何是圆的吗???
公式 a·b=|a|·|b|cosθ 是数学中为内积作的定义,
a·b=x1·x2+y1·y2 是由此推导出来的,需要和差化积公式。
先取 α,β介于0到2π , 分别代表由 x正实轴转到 a,b 向量的夹角。 不妨假设 α>β,(β>α可类似证明)可得到四个三角函数值:
sin α = y1/sqrt(x1^2+y1^2)
cos...
全部展开
公式 a·b=|a|·|b|cosθ 是数学中为内积作的定义,
a·b=x1·x2+y1·y2 是由此推导出来的,需要和差化积公式。
先取 α,β介于0到2π , 分别代表由 x正实轴转到 a,b 向量的夹角。 不妨假设 α>β,(β>α可类似证明)可得到四个三角函数值:
sin α = y1/sqrt(x1^2+y1^2)
cos α = x1/sqrt(x1^2+y1^2)
sin β = y2/sqrt(x2^2+y2^2)
cos β = x2/sqrt(x2^2+y2^2)
其夹角取 θ = α-β ,则 cos θ =cos(α-β) 套用和差化积公式
cos( α-β) = (cos α)*(cos β) + (sin α)*(sin β)
带入后 约去分母,一下便得到结果!
写在纸上一目了然。另外说一下,sqrt 表示取平方根, ^ 也就是键盘 6 上头那个符号,在数学中表示 平方的意思。例如
|a|=根号下[(x1)2+(y1)2]
即可表示为
|a|=sqrt(x1^2+y1^2)
其他类似。
收起
a·b=|a|·|b| cosθ这个公式就相当于把(a,b)的夹角θ控制在0°→180°之间。
即:选其中一个向量方向为正方向,a·b比如说 b方向,画直角坐标系(y,b)则他们的夹角,
0°<θ≤90°时,cosθ是(+),a·b是(+)
90°<θ≤180°时,cosθ是(-),a·b(-)
180°<θ≤270°时,cosθ是(+),a·b(+)
27...
全部展开
a·b=|a|·|b| cosθ这个公式就相当于把(a,b)的夹角θ控制在0°→180°之间。
即:选其中一个向量方向为正方向,a·b比如说 b方向,画直角坐标系(y,b)则他们的夹角,
0°<θ≤90°时,cosθ是(+),a·b是(+)
90°<θ≤180°时,cosθ是(-),a·b(-)
180°<θ≤270°时,cosθ是(+),a·b(+)
270°<θ≤270°时,cosθ是(-),a·b(-)
符号完全互补,而|a|·cosθ就是向量a在b方向上的投影(即长度),另外的分量 y*b=0。
所以,数量积成立,没有错!
公式得证。
收起