设f(x)=1-x²/1+x²,判断函数f(x)在区间[0,+无穷]上的单调性,并用定义证明
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/04 18:03:18
![设f(x)=1-x²/1+x²,判断函数f(x)在区间[0,+无穷]上的单调性,并用定义证明](/uploads/image/z/1782070-70-0.jpg?t=%E8%AE%BEf%EF%BC%88x%EF%BC%89%3D1-x%26%23178%3B%2F1%2Bx%26%23178%3B%2C%E5%88%A4%E6%96%AD%E5%87%BD%E6%95%B0f%EF%BC%88x%EF%BC%89%E5%9C%A8%E5%8C%BA%E9%97%B4%5B0%2C%2B%E6%97%A0%E7%A9%B7%5D%E4%B8%8A%E7%9A%84%E5%8D%95%E8%B0%83%E6%80%A7%2C%E5%B9%B6%E7%94%A8%E5%AE%9A%E4%B9%89%E8%AF%81%E6%98%8E)
设f(x)=1-x²/1+x²,判断函数f(x)在区间[0,+无穷]上的单调性,并用定义证明
设f(x)=1-x²/1+x²,判断函数f(x)在区间[0,+无穷]上的单调性,并用定义证明
设f(x)=1-x²/1+x²,判断函数f(x)在区间[0,+无穷]上的单调性,并用定义证明
f(x)=(1-x²)/(1+x²)
=[2-(1+x²)]/(1+x²)
=2/(1+x²) -1
f(x)在[0,+∞)上是减函数
证明:
任取0≤x10
又(1+x²1)(1+x²2)>0
∴2(x2-x1)(x2+x1)/[(1+x²1)(1+x²2)]>0
∴f(x1)-f(x2)>0
∴f(x)在[0,+∞)上是减函数
设 0≤x1<x2
f(x1)-f(x2) =(1-x1^2)/(1+x1^2)-(1-x2^2)/(1+x2^2)
=[(1-x1^2)(1+x2^2)-(1+x1^2)(1-x2^2)]/[(1+x2^2)(1+x1^2)]
对 [(1-x1^2)(1+x2^2)-(1+x1^2)(1-x2^2)] 整理得
2(x^...
全部展开
设 0≤x1<x2
f(x1)-f(x2) =(1-x1^2)/(1+x1^2)-(1-x2^2)/(1+x2^2)
=[(1-x1^2)(1+x2^2)-(1+x1^2)(1-x2^2)]/[(1+x2^2)(1+x1^2)]
对 [(1-x1^2)(1+x2^2)-(1+x1^2)(1-x2^2)] 整理得
2(x^2-x1^2)
因为 0≤x1<x2
所以 2(x^2-x1^2)>0
显然 [(1+x2^2)(1+x1^2)]>0
故 f(x1)-f(x2)>0 即 f(x1)>f(x2)
函数f(x)在区间[0,+无穷]上单调递减
收起