设数列{an}的前n项和为Sn,数列{Sn}的前n项和为Tn,满足Tn=2Sn-n2,n∈N*.求a1的值以及an的通项公式.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/02 03:52:32
![设数列{an}的前n项和为Sn,数列{Sn}的前n项和为Tn,满足Tn=2Sn-n2,n∈N*.求a1的值以及an的通项公式.](/uploads/image/z/1782767-47-7.jpg?t=%E8%AE%BE%E6%95%B0%E5%88%97%7Ban%7D%E7%9A%84%E5%89%8Dn%E9%A1%B9%E5%92%8C%E4%B8%BASn%2C%E6%95%B0%E5%88%97%7BSn%7D%E7%9A%84%E5%89%8Dn%E9%A1%B9%E5%92%8C%E4%B8%BATn%2C%E6%BB%A1%E8%B6%B3Tn%3D2Sn-n2%2Cn%E2%88%88N%EF%BC%8A.%E6%B1%82a1%E7%9A%84%E5%80%BC%E4%BB%A5%E5%8F%8Aan%E7%9A%84%E9%80%9A%E9%A1%B9%E5%85%AC%E5%BC%8F.)
设数列{an}的前n项和为Sn,数列{Sn}的前n项和为Tn,满足Tn=2Sn-n2,n∈N*.求a1的值以及an的通项公式.
设数列{an}的前n项和为Sn,数列{Sn}的前n项和为Tn,满足Tn=2Sn-n2,n∈N*.求a1的值以及an的通项公式.
设数列{an}的前n项和为Sn,数列{Sn}的前n项和为Tn,满足Tn=2Sn-n2,n∈N*.求a1的值以及an的通项公式.
当 n=1 时,T1=S1=a1 ,所以由 a1=2a1-1 得 a1=1 .
当 n>=2 时,Sn=Tn-T(n-1)=(2Sn-n^2)-[2S(n-1)-(n-1)^2] ,
所以 Sn=2S(n-1)+2n-1 ,
设 Sn+(un+v)=2[S(n-1)+u(n-1)+v] ,解得 u=2 ,v=3 ,
也即 Sn+(2n+3)=2[S(n-1)+2(n-1)+3] ,
这说明数列 {Sn+(2n+3)}是首项为 S1+5=6 ,公比为 2 的等比数列,
所以 Sn+(2n+3)=3*2^n ,
因此 Sn=3*2^n-(2n+3) ,
那么 an=Sn-S(n-1)=S(n-1)+2n-1=3*2^(n-1)-(2n+1)+(2n-1)=3*2^(n-1)-2 .
当 n=1 时,T1=S1=a1 ,所以由 a1=2a1-1 得 a1=1 。
当 n>=2 时,Sn=Tn-T(n-1)=(2Sn-n^2)-[2S(n-1)-(n-1)^2] ,
所以 Sn=2S(n-1)+2n-1 ,
设 Sn+(un+v)=2[S(n-1)+u(n-1)+v] ,解得 u=2 ,v=3 ,
也即 Sn+(2n+3)=2[S(n-1)+2(n...
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当 n=1 时,T1=S1=a1 ,所以由 a1=2a1-1 得 a1=1 。
当 n>=2 时,Sn=Tn-T(n-1)=(2Sn-n^2)-[2S(n-1)-(n-1)^2] ,
所以 Sn=2S(n-1)+2n-1 ,
设 Sn+(un+v)=2[S(n-1)+u(n-1)+v] ,解得 u=2 ,v=3 ,
也即 Sn+(2n+3)=2[S(n-1)+2(n-1)+3] ,
这说明数列 {Sn+(2n+3)}是首项为 S1+5=6 ,公比为 2 的等比数列,
所以 Sn+(2n+3)=3*2^n ,
因此 Sn=3*2^n-(2n+3) ,
那么 an=Sn-S(n-1)=S(n-1)+2n-1=3*2^(n-1)-(2n+1)+(2n-1)=3*2^(n-1)-2 。
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