椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1、F2,右顶点为A,P为椭圆C上任意一点,已知向量PF1*向(接上)PF2的最大值为3,最小值为2.(1)求椭圆C的方程;(2)若直线L:y=kx+m与椭圆C相交于M、N
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/03 12:29:09
![椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1、F2,右顶点为A,P为椭圆C上任意一点,已知向量PF1*向(接上)PF2的最大值为3,最小值为2.(1)求椭圆C的方程;(2)若直线L:y=kx+m与椭圆C相交于M、N](/uploads/image/z/2490924-12-4.jpg?t=%E6%A4%AD%E5%9C%86C%3Ax%5E2%2Fa%5E2%2By%5E2%2Fb%5E2%3D1%28a%3Eb%3E0%29%E7%9A%84%E5%B7%A6%E5%8F%B3%E7%84%A6%E7%82%B9%E5%88%86%E5%88%AB%E4%B8%BAF1%E3%80%81F2%2C%E5%8F%B3%E9%A1%B6%E7%82%B9%E4%B8%BAA%2CP%E4%B8%BA%E6%A4%AD%E5%9C%86C%E4%B8%8A%E4%BB%BB%E6%84%8F%E4%B8%80%E7%82%B9%2C%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E5%90%91%E9%87%8FPF1%2A%E5%90%91%EF%BC%88%E6%8E%A5%E4%B8%8A%EF%BC%89PF2%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%A4%A7%E5%80%BC%E4%B8%BA3%2C%E6%9C%80%E5%B0%8F%E5%80%BC%E4%B8%BA2.%EF%BC%881%EF%BC%89%E6%B1%82%E6%A4%AD%E5%9C%86C%E7%9A%84%E6%96%B9%E7%A8%8B%EF%BC%9B%EF%BC%882%EF%BC%89%E8%8B%A5%E7%9B%B4%E7%BA%BFL%EF%BC%9Ay%3Dkx%2Bm%E4%B8%8E%E6%A4%AD%E5%9C%86C%E7%9B%B8%E4%BA%A4%E4%BA%8EM%E3%80%81N)
椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1、F2,右顶点为A,P为椭圆C上任意一点,已知向量PF1*向(接上)PF2的最大值为3,最小值为2.(1)求椭圆C的方程;(2)若直线L:y=kx+m与椭圆C相交于M、N
椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1、F2,右顶点为A,P为椭圆C上任意一点,已知向量PF1*向
(接上)PF2的最大值为3,最小值为2.(1)求椭圆C的方程;(2)若直线L:y=kx+m与椭圆C相交于M、N两点(M、N不是左右顶点),且以MN为直径的圆过点A.求证:直线L过定点,并求出该定点的坐标.
不要只写思路,还要给出准确答案.
椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1、F2,右顶点为A,P为椭圆C上任意一点,已知向量PF1*向(接上)PF2的最大值为3,最小值为2.(1)求椭圆C的方程;(2)若直线L:y=kx+m与椭圆C相交于M、N
[1]利用椭圆的参数方程
设P(acosθ,bsinθ),F1(-c,0) ,F2(c,0)
则:PF1*PF2
=(-c-acosθ,-bsinθ)*(c-acosθ,-bsinθ)
=(acosθ+c)(acosθ-c)+(bsinθ)^2
=a^2cos^2(θ)-c^2+b^2[1-cos^2(θ)]
=(a^2-b^2)cos^2(θ)+(b^2-c^2)
则当cos^2(θ)=1时,PF1*PF2取最大值=a^2-c^2=3
当cos^2(θ)=0时,PF1*PF2取最小值=b^2-c^2=2
联立a^2=b^2+c^2得:a^2=4,b^2=3
则椭圆C:x^2/4+y^2/3=1
[2]证明:直线L过定点(2/7,0)
设M(x1,y1)N(x2,y2)
则以MN为直径的圆方程:
(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0
由于C的右顶点A(2,0)在圆上
则:(2-x1)(2-x2)+y1y2=0
x1x2+4-2(x1+x2)+y1y2=0 -----(1)
由于M,N在直线L上
则:y1=kx1+m,y2=kx2+m
代入(1)得:
x1x2+4-2(x1+x2)+(kx1+m)(kx2+m)=0
(1+k^2)x1x2+(mk-2)(x1+x2)+(m^2+4)=0 ----(2)
L与C联立得:
3x^2+4(kx+m)^2=12
(3+4k^2)x^2+8kmx+4m^2-12=0
则:x1+x2=-8km/(3+4k^2),x1x2=(4m^2-12)/(3+4k^2)
代入(2)得:
[(1+k^2)(4m^2-12)]/(3+4k^2)+[(mk-2)(-8km)]/(3+4k^2)+m^2+4=0
整理得:
4k^2+16km+7m^2=0
(2k+m)(2k+7m)=0
则:m=-2k 或 m=-2k/7
又因为m=-2k时,L:y=kx+m=k(x-2)恒过C的右顶点A(2,0)
同时已知L与C交点M、N不是左右顶点
故m=-2k舍去
则:m=-2k/7
L:y=kx-2k/7=k(x-2/7)
即直线L过定点(2/7,0)