三角形ABC中.向量m=(2cosB,1),向量n(2COSˆ2(π∕4+B∕2),-1+sin2B),且满足︳m+n︳=︳m-n︳1,求角B的大小 2,求sinA的平方+sinC的平方的取值范围
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/04 14:22:55
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三角形ABC中.向量m=(2cosB,1),向量n(2COSˆ2(π∕4+B∕2),-1+sin2B),且满足︳m+n︳=︳m-n︳1,求角B的大小 2,求sinA的平方+sinC的平方的取值范围
三角形ABC中.向量m=(2cosB,1),向量n(2COSˆ2(π∕4+B∕2),-1+sin2B),且满足︳m+n︳=︳m-n︳
1,求角B的大小 2,求sinA的平方+sinC的平方的取值范围
三角形ABC中.向量m=(2cosB,1),向量n(2COSˆ2(π∕4+B∕2),-1+sin2B),且满足︳m+n︳=︳m-n︳1,求角B的大小 2,求sinA的平方+sinC的平方的取值范围
第一个问题:
∵|向量m+向量n|=|向量m-向量n|,
∴|向量m|^2+2向量m·向量n+|向量n|^2=|向量m|^2-2向量m·向量n+|向量n|^2,
∴向量m·向量n=0.
∵向量m=(2cosB,1)、向量n=(2[cos(π/4+B/2)]^2,-1+sin2B),
∴4cosB[cos(π/4+B/2)]^2-1+sin2B=0,
∴2cosB[1+cos(π/2+B)]-1+sin2B=0,
∴2cosB-2cosBsinB-1+2cosBsinB=0,∴2cosB-1=0,∴cosB=1/2,∴B=60°.
第二个问题:
(sinA)^2+(sinC)^2
=(1/2)(1-cos2A)+(1/2)(1-cos2C)=1-(1/2)(cos2A+cos2C)
=1-cos(A+C)cos(A-C)=1-cos(180°-B)cos(A-C)
=1+cosBcos(A-C)=1+(1/2)cos(A-C).
∵B=60°,∴0°<A<120°、0°<C<120°,∴-120°<A-C<120°,
∴-1/2<cos(A-C)≦1,∴-1/4<(1/2)cos(A-C)≦1/2,
∴3/4<1+(1/2)cos(A-C)≦3/2.
∴[(sinA)^2+(sinC)^2]的取值范围是(3/4,3/2].