已知ax^3=by^3=cz^3.1/x+1/y+1/z=1 求证ax^2+by^2+cz^2的和的立方根=a的立方根+b的立方根+c的立方根
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/03 23:35:24
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已知ax^3=by^3=cz^3.1/x+1/y+1/z=1 求证ax^2+by^2+cz^2的和的立方根=a的立方根+b的立方根+c的立方根
已知ax^3=by^3=cz^3.1/x+1/y+1/z=1 求证ax^2+by^2+cz^2的和的立方根=a的立方根+b的立方根+c的立方根
已知ax^3=by^3=cz^3.1/x+1/y+1/z=1 求证ax^2+by^2+cz^2的和的立方根=a的立方根+b的立方根+c的立方根
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∵ax³=by³=cz³,1/x+1/y+1/z=1
∴(ax³+by³+cz³)×(1/x+1/y+1/z)=3ax²+3by²+3cz²
∴x3√a=y3√b=z3√c
∴(x3√a+y3√b+z3√c)×(1/x+1/y+1/z)=3×3√a+3×3√b+3×3√c(3√是立方根...
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∵ax³=by³=cz³,1/x+1/y+1/z=1
∴(ax³+by³+cz³)×(1/x+1/y+1/z)=3ax²+3by²+3cz²
∴x3√a=y3√b=z3√c
∴(x3√a+y3√b+z3√c)×(1/x+1/y+1/z)=3×3√a+3×3√b+3×3√c(3√是立方根的意思)
3√(ax²+by²+cz²)=3√1/3(3ax²+3by²+3cz²)=3√1/3(ax³+by³+cz³)=x3√a(1)
同理3√(ax²+by²+cz²)=y3√b(2),3√(ax²+by²+cz²)=z3√c(3)
(1),(2),(3)式相加:3×3√(ax²+by²+cz²)=x3√a+y3√b+z3√c=3×(3√a+3√b+3√c)
∴3√(ax²+by²+cz²)=3√a+3√b+3√c即证得原题的结论。
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