用数学归纳法证明1+2^1+2^2+2^3+……+2^5n-1被31整除所得的余数
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/06 13:33:08
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用数学归纳法证明1+2^1+2^2+2^3+……+2^5n-1被31整除所得的余数
用数学归纳法证明1+2^1+2^2+2^3+……+2^5n-1被31整除所得的余数
用数学归纳法证明1+2^1+2^2+2^3+……+2^5n-1被31整除所得的余数
余数为0 整除31
n=1时
1+2^1+2^2+2^3+4^2=1+2+4+8+16=31
成立
设k成立
1+...+2^(5k-1)=31p
k+1时
1+..+2^(5k-1)+2^5k+2^(5k+1)+2^(5k+2)+2^(5k+3)+2^(5(k+1)-1)
=31p+2^5k(1+2^1+2^2+2^3+2^4)
=31(p+2^5k)
k+1时成立
原式+1=2^5n
即原式=2^5n-1
再证明就简单了
1、当n = 1 时,2^ 0 2^ 1 …+2^ 4= 31 . 所以余数为0。 2、假设当n=k(k>=1)时猜想成立,则有2^0 2^1 2^2 …+2^ ( 5 k -1)=2^(5k ) - 1 = 31 m ( m 为正整数); 那么当n=k+1时,则有2^0 2^1 2^2 …+2^ ( 5 ( k 1 ) - 1 ) = 2 ^ ( 5 ...
全部展开
1、当n = 1 时,2^ 0 2^ 1 …+2^ 4= 31 . 所以余数为0。 2、假设当n=k(k>=1)时猜想成立,则有2^0 2^1 2^2 …+2^ ( 5 k -1)=2^(5k ) - 1 = 31 m ( m 为正整数); 那么当n=k+1时,则有2^0 2^1 2^2 …+2^ ( 5 ( k 1 ) - 1 ) = 2 ^ ( 5 k 5 ) - 1 = 2 ^ ( 5 k ) * 32 - 1 = ( 31 m 1 ) * 32 - 1 = 31 * ( 32 m 1 )
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