定义在r上的奇函数y=f(X)满足f(3)=0,且不等式f(x)>-x*f'(x)在(0,+∞)上恒成立,则函数g(x)=x*f(x)+lg|x+1|的零点个数为答案上有3个。。。
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/03 23:32:52
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定义在r上的奇函数y=f(X)满足f(3)=0,且不等式f(x)>-x*f'(x)在(0,+∞)上恒成立,则函数g(x)=x*f(x)+lg|x+1|的零点个数为答案上有3个。。。
定义在r上的奇函数y=f(X)满足f(3)=0,且不等式f(x)>-x*f'(x)在(0,+∞)上恒成立,则函数g(x)=x*f(x)+lg|x+1|的零点个数为
答案上有3个。。。
定义在r上的奇函数y=f(X)满足f(3)=0,且不等式f(x)>-x*f'(x)在(0,+∞)上恒成立,则函数g(x)=x*f(x)+lg|x+1|的零点个数为答案上有3个。。。
答:
定义在R的奇函数f(x)满足:
f(0)=0=f(3)=f(-3)
f(-x)=-f(x)
x>0时:f(x)>-xf'(x)
f(x)+xf'(x)>0
所以:[xf(x)]'>0
所以:h(x)=xf(x)在x>0时是增函数
h(-x)=-xf(-x)=xf(x)是偶函数
所以:x
设F(x)=xf(x) 则F(x)为偶函数。 则F'(x)=f(x)+xf'(x) 由题意知f(x)+xf'(x)>0在(0,+∞)上恒成立,即F'(x)>0在(0,+∞)上恒成立,即F(x)在(0,+∞)上单调增,因此根据奇偶性,F(x)在(-∞,0)单调减。且F(0)=0,F(-3)=F(3)=0 所以,根据单调性和奇偶性知F(x)在(0,3)上F(x)<0,在(3,+∞)上F(x)>0,在(-3,0)上F(x)<0,在(-∞,-3)上F(x)>0. F(x)=xf(x),x>0, ........0, x=0 ........ xf(x),x<0 (分段函数,分成三段) 令g(x)=0,得x*f(x)=-lg|x+1|, 令k(x)=-lg|x+1|,知在(-∞,-1)单调增,在(-1,+∞)上单调减。所以在在(-3,0)中F(x)与k(x)有一个交点,在(0,3)内有一个交点,在原点处相交。 因此零点的个数为3个。 结合数形结合来解决。