定义在R上的函数f(x)满足:f(x+3)+f(x)=0,且函数f(x-3/2)为奇函数.证明:函数f(x)的图像关于y轴对称.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/03 10:45:41
![定义在R上的函数f(x)满足:f(x+3)+f(x)=0,且函数f(x-3/2)为奇函数.证明:函数f(x)的图像关于y轴对称.](/uploads/image/z/4104426-66-6.jpg?t=%E5%AE%9A%E4%B9%89%E5%9C%A8R%E4%B8%8A%E7%9A%84%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%E6%BB%A1%E8%B6%B3%EF%BC%9Af%28x%2B3%29%2Bf%28x%29%3D0%2C%E4%B8%94%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x-3%2F2%29%E4%B8%BA%E5%A5%87%E5%87%BD%E6%95%B0.%E8%AF%81%E6%98%8E%EF%BC%9A%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%E7%9A%84%E5%9B%BE%E5%83%8F%E5%85%B3%E4%BA%8Ey%E8%BD%B4%E5%AF%B9%E7%A7%B0.)
定义在R上的函数f(x)满足:f(x+3)+f(x)=0,且函数f(x-3/2)为奇函数.证明:函数f(x)的图像关于y轴对称.
定义在R上的函数f(x)满足:f(x+3)+f(x)=0,且函数f(x-3/2)为奇函数.证明:函数f(x)的图像关于y轴对称.
定义在R上的函数f(x)满足:f(x+3)+f(x)=0,且函数f(x-3/2)为奇函数.证明:函数f(x)的图像关于y轴对称.
只需证明f(x)为偶函数
依题有:f(x-3/2)=-f(-x-3/2) 即f(x-3/2)+f(-x-3/2)=0 令x=x+3/2 得f(x)+f(-x-3)=0
又由 f(x+3)+f(x)=0 得f(x+3)=f(-x-3)
令x=x-3 即 f(x)=f(-x) 所以 f(x) 为偶函数,关于y轴对称
证明:
因为f(x-3/2)为奇函数,所以有A: f(x-3/2) = -f(-x+3/2)
又因为f(x+3) + f(x) = 0,所以有B: f(x + 3/2) + f(x-3/2) = 0 (把x+3/2看成式子f(x+3) + f(x) = 0中的x)
根据A式和B式有:f(x + 3/2) - f(-x+3/2) = 0
所以有f(x + 3/2) ...
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证明:
因为f(x-3/2)为奇函数,所以有A: f(x-3/2) = -f(-x+3/2)
又因为f(x+3) + f(x) = 0,所以有B: f(x + 3/2) + f(x-3/2) = 0 (把x+3/2看成式子f(x+3) + f(x) = 0中的x)
根据A式和B式有:f(x + 3/2) - f(-x+3/2) = 0
所以有f(x + 3/2) = f(-x+3/2) ,将其表示为f((x-3/2) + 3) = f(-(x-3/2))
令p = x - 3/2,有f(p+3) = f(-p)
根据A式有f(p+3) + f(p) = 0
有f(-p) + f(p) = 0
显然p = x - 3/2可以取x轴上任意值,也就是说对于x轴上任意的坐标p,
都有f(p) + f(-p) = 0成立,所以函数f(x)的图像关于y轴对称
得证
收起
因为1+1=2所以函数f(x)的图像关于y轴对称。