及不等式方程的题目【1】已知a,b,c,d,m,n>0且a^2+b^2=m^2,c^2+d^2=n^2,m≠n,ac+bd≤p.求p的最小值【2】a,b,c为某一三角形的三条边,c为斜角边,点(m,n)在直线ax+by+2c=0上,m^2+n^2的最小值【3】已知a>0,b>0,且a+b=1
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/04 14:53:56
![及不等式方程的题目【1】已知a,b,c,d,m,n>0且a^2+b^2=m^2,c^2+d^2=n^2,m≠n,ac+bd≤p.求p的最小值【2】a,b,c为某一三角形的三条边,c为斜角边,点(m,n)在直线ax+by+2c=0上,m^2+n^2的最小值【3】已知a>0,b>0,且a+b=1](/uploads/image/z/4111801-25-1.jpg?t=%E5%8F%8A%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F%E6%96%B9%E7%A8%8B%E7%9A%84%E9%A2%98%E7%9B%AE%E3%80%901%E3%80%91%E5%B7%B2%E7%9F%A5a%2Cb%2Cc%2Cd%2Cm%2Cn%3E0%E4%B8%94a%5E2%2Bb%5E2%3Dm%5E2%2Cc%5E2%2Bd%5E2%3Dn%5E2%2Cm%E2%89%A0n%2Cac%2Bbd%E2%89%A4p.%E6%B1%82p%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%B0%8F%E5%80%BC%E3%80%902%E3%80%91a%2Cb%2Cc%E4%B8%BA%E6%9F%90%E4%B8%80%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%E7%9A%84%E4%B8%89%E6%9D%A1%E8%BE%B9%2Cc%E4%B8%BA%E6%96%9C%E8%A7%92%E8%BE%B9%2C%E7%82%B9%EF%BC%88m%2Cn%29%E5%9C%A8%E7%9B%B4%E7%BA%BFax%2Bby%2B2c%3D0%E4%B8%8A%2Cm%5E2%2Bn%5E2%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%B0%8F%E5%80%BC%E3%80%903%E3%80%91%E5%B7%B2%E7%9F%A5a%3E0%2Cb%3E0%2C%E4%B8%94a%2Bb%3D1)
及不等式方程的题目【1】已知a,b,c,d,m,n>0且a^2+b^2=m^2,c^2+d^2=n^2,m≠n,ac+bd≤p.求p的最小值【2】a,b,c为某一三角形的三条边,c为斜角边,点(m,n)在直线ax+by+2c=0上,m^2+n^2的最小值【3】已知a>0,b>0,且a+b=1
及不等式方程的题目
【1】已知a,b,c,d,m,n>0且a^2+b^2=m^2,c^2+d^2=n^2,m≠n,ac+bd≤p.求p的最小值
【2】a,b,c为某一三角形的三条边,c为斜角边,点(m,n)在直线ax+by+2c=0上,m^2+n^2的最小值
【3】已知a>0,b>0,且a+b=1,则ab+1/ab的最小值
【4】设f(x)=(1/a)x^2-bx+c,(a>0),满足f(1+x)=f(1-x),求a^2+b^2-2(a+b)的最小值
【5】|x的平方-2|x|-2|≥1
以上1到4题用基本不等式解决,均请给出具体解题过程
及不等式方程的题目【1】已知a,b,c,d,m,n>0且a^2+b^2=m^2,c^2+d^2=n^2,m≠n,ac+bd≤p.求p的最小值【2】a,b,c为某一三角形的三条边,c为斜角边,点(m,n)在直线ax+by+2c=0上,m^2+n^2的最小值【3】已知a>0,b>0,且a+b=1
【1】已知a,b,c,d,m,n>0且a^2+b^2=m^2,c^2+d^2=n^2,m≠n,ac+bd≤p.求p的最小值
要使p为最小值,且ac+bd≤p,则只需ac+bd的最大值即可
而2ac≤a^2+b^2,2bd≤c^2+d^2
故2ac+2bd≤(a^2+b^2)+(c^2+d^2)
即ac+bd≤(m^2+n^2)/2
故p为最小值为(m^2+n^2)/2,此时a=b,c=d.
【2】a,b,c为某一三角形的三条边,c为斜角边,点(m,n)在直线ax+by+2c=0上,m^2+n^2的最小值
问:“c为斜角边”是什么意思?是说三角形是直角三角形?b^2+a^2=c^2
易知am+bn+2c=0,a>0,b>0,c>0
故m=(-bn-2c)/a
于是 m^2+n^2=[(-bn-2c)/a]^2+n^2=[(b^2+a^2)/a^2]×n^2+(4bc/a^2)×n+4c^2/a^2=(1/a^2)[c^2×n^2+4bc×n+4c^2]
故当n=-4bc/(2c^2)=-2b/c时,m^2+n^2有最小值,此时m^2+n^2=(1/a^2)[c^2×(-2b/c)^2+4bc×(-2b/c)+4c^2]=(1/a^2)[4b^2-8b^2+4c^2]=4
注:“Cauchy门徒”的(m^2+n^2)(a^2+b^2)>=(am+bn)^2=4c^2(a^2+b^2=c^2) So m^2+n^2>=4.很好!
【3】已知a>0,b>0,且a+b=1,则ab+1/ab的最小值
分析:a>0,b>0则ab>0,1/ab>0
从而ab+1/ab≥2sqrt[ab×(1/ab))=2sqrt(2) {注:sqrt是根号的意思}
当且仅当ab=1/ab,即ab=1,使上面等号成立,又a+b=1,此时a,b无解,故此时取不到等号,即2sqrt(2)不是最小值.需换方法.
不妨令x=ab,则考察函数f(x)=x+1/x,
a+b=1,则ab≤[(a+b)/2]^2=1/4,即x≤1/4
由勾函数图象知,f(x)在(0,1)上单调减,
从而x=1/4时,f(x)取最小值,为17/4
故ab+1/ab的最小值17/4,此时a=b=1/2
【4】设f(x)=(1/a)x^2-bx+c,(a>0),满足f(1+x)=f(1-x),求a^2+b^2-2(a+b)的最小值
由f(1+x)=f(1-x)知f(x)的对称轴是1,即ab/2=1,ab=2
又a>0,则 b>0
a^2+b^2-2(a+b)=(a+b-1)^2-1-2ab=(a+b-1)^2-5
又a+b≥2sqrt(ab)=2sqrt(2)
故a^2+b^2-2(a+b)的最小值为[2sqrt(2)-1]^2-5=4-4sqrt(2)
【5】|x^2-2|x|-2|≥1
原不等式等价为||x|^2-2|x|-2|≥1
从而|x|^2-2|x|-2≥1或|x|^2-2|x|-2≤-1
即|x|^2-2|x|-3≥0①或|x|^2-2|x|-1≤0②
①的解|x|≥3,|x|≤-1,故x≥3或x≤-3
略(有些累了)
(仅供参考)