已知二次函数f(x)=ax²+bx+c,若x1<x2,且f(x1)≠f(x2)求证关于x的方程f(x)=1/2[f(x1)+f(x2)]在区间(x1,x2)内必有一根
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/02 03:21:49
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已知二次函数f(x)=ax²+bx+c,若x1<x2,且f(x1)≠f(x2)求证关于x的方程f(x)=1/2[f(x1)+f(x2)]在区间(x1,x2)内必有一根
已知二次函数f(x)=ax²+bx+c,若x1<x2,且f(x1)≠f(x2)
求证关于x的方程f(x)=1/2[f(x1)+f(x2)]在区间(x1,x2)内必有一根
已知二次函数f(x)=ax²+bx+c,若x1<x2,且f(x1)≠f(x2)求证关于x的方程f(x)=1/2[f(x1)+f(x2)]在区间(x1,x2)内必有一根
设g(x)=f(x)-1/2[f(x1)+f(x2)]
g(x1)=f(x1)-1/2[f(x1)+f(x2)]=1/2[f(x1)-f(x2)]
g(x2)=f(x2)-1/2[f(x1)+f(x2)]=1/2[f(x2)-f(x1)]
因为f(x1)≠f(x2)
所以g(x1)和g(x2)异号
那么在区间(x1,x2)内必有一点,使g(x)=0
即f(x)=1/2[f(x1)+f(x2)]在区间(x1,x2)内必有一根
令F(x)=f(x)-1/2[f(x1)+f(x2)]
则F(x1)=f(x1)-1/2[f(x1)+f(x2)]=1/2[f(x1)-f(x2)]
F(x2)=f(x2)-1/2[f(x1)+f(x2)]=1/2[f(x2)-f(x1)]
因为f(x1)≠f(x2),不妨设f(x1)
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令F(x)=f(x)-1/2[f(x1)+f(x2)]
则F(x1)=f(x1)-1/2[f(x1)+f(x2)]=1/2[f(x1)-f(x2)]
F(x2)=f(x2)-1/2[f(x1)+f(x2)]=1/2[f(x2)-f(x1)]
因为f(x1)≠f(x2),不妨设f(x1)
根据零点定理,在区间(x1,x2)内必有一点,使F(x)=0,
即关于x的方程f(x)=1/2[f(x1)+f(x2)]在区间(x1,x2)内必有一根.
收起
另g(x)=f(x)-1/2[f(x1)+f(x2)]
g(x1)=f(x1)-1/2[f(x1)+f(x2)]=1/2[f(x1)-f(x2)]
g(x2)=f(x2)-1/2[f(x1)+f(x2)]=1/2[f(x2)-f(x1)] f(x1)≠f(x2) 所以两个必然是一正一副(相反数)
g(x)为连续函数
所以根据零点定理,函数必然在x1,x2之间有一个根。