设函数f(x)=6x^3+3(a+2)x^2+2ax,是否存在实数a,使得f(x)是(负无穷,正无穷)上的单调函数?若存在,能不能详细点
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/06 00:25:49
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设函数f(x)=6x^3+3(a+2)x^2+2ax,是否存在实数a,使得f(x)是(负无穷,正无穷)上的单调函数?若存在,能不能详细点
设函数f(x)=6x^3+3(a+2)x^2+2ax,是否存在实数a,使得f(x)是(负无穷,正无穷)上的单调函数?若存在,
能不能详细点
设函数f(x)=6x^3+3(a+2)x^2+2ax,是否存在实数a,使得f(x)是(负无穷,正无穷)上的单调函数?若存在,能不能详细点
f’(x)=18x^2+6(a+2)x+2a=18x^2+2x+8a>=0恒成立即可
4-18*8a1/36 存在
LZ没有学过导数?
如果用常规的方法来解答是很麻烦的。我简要的给你作如下说明吧。
(1)先不加证明的给出两个个引理:
a: 对于g(x)=x^3 + px +q 而言,p≥0时,g(x)递增;p < 0 时,g(x)一定在定义域上存在递减区域,这个用x1,x2单调还算好证明。
b:如果h(x)在R上递增,那么h(x+t)也一定递增,t为任意常数。(这...
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LZ没有学过导数?
如果用常规的方法来解答是很麻烦的。我简要的给你作如下说明吧。
(1)先不加证明的给出两个个引理:
a: 对于g(x)=x^3 + px +q 而言,p≥0时,g(x)递增;p < 0 时,g(x)一定在定义域上存在递减区域,这个用x1,x2单调还算好证明。
b:如果h(x)在R上递增,那么h(x+t)也一定递增,t为任意常数。(这个简直是废话)
(2)再看题目中的f(x),可以化为
f(x) = 6[x+(1/6)(a+2)]^3 + px +q
这个真的要LZ自己化简了,只要其中p≥0,利用代换t=x+(1/6)(a+2)和前面的引理,很容易说明f(x)递增。
收起
求导数,f`(x)=18x^2+6(a+2)x+2a
由于导数的△=36(a+2)^2-4×18×2a=36(a^2+4)>0,
所以不存在实数a,使得f(x)是(负无穷,正无穷)上的单调函数。