已知三角形ABC的内角A,B及其对边a,b满足a+b=acotA+bcotB,求内角C.由正弦定理可知a/sinA=b/sinB=R∴acotA+bcotB=R(cosA+cosB)a+b=RsinA+RsinB∴cosA+cosB=sinA+sinBcosA-sinA=sinB-cosB(cosA-sinA)^2=(sinB-cosB)^21-2sinAcosA=1-2sinBcos
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/30 19:59:07
![已知三角形ABC的内角A,B及其对边a,b满足a+b=acotA+bcotB,求内角C.由正弦定理可知a/sinA=b/sinB=R∴acotA+bcotB=R(cosA+cosB)a+b=RsinA+RsinB∴cosA+cosB=sinA+sinBcosA-sinA=sinB-cosB(cosA-sinA)^2=(sinB-cosB)^21-2sinAcosA=1-2sinBcos](/uploads/image/z/5209485-69-5.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2ABC%E7%9A%84%E5%86%85%E8%A7%92A%2CB%E5%8F%8A%E5%85%B6%E5%AF%B9%E8%BE%B9a%2Cb%E6%BB%A1%E8%B6%B3a%2Bb%3DacotA%2BbcotB%2C%E6%B1%82%E5%86%85%E8%A7%92C.%E7%94%B1%E6%AD%A3%E5%BC%A6%E5%AE%9A%E7%90%86%E5%8F%AF%E7%9F%A5a%2FsinA%3Db%2FsinB%3DR%E2%88%B4acotA%2BbcotB%3DR%EF%BC%88cosA%2BcosB%EF%BC%89a%2Bb%3DRsinA%2BRsinB%E2%88%B4cosA%2BcosB%3DsinA%2BsinBcosA-sinA%3DsinB-cosB%28cosA-sinA%29%5E2%3D%28sinB-cosB%29%5E21-2sinAcosA%3D1-2sinBcos)
已知三角形ABC的内角A,B及其对边a,b满足a+b=acotA+bcotB,求内角C.由正弦定理可知a/sinA=b/sinB=R∴acotA+bcotB=R(cosA+cosB)a+b=RsinA+RsinB∴cosA+cosB=sinA+sinBcosA-sinA=sinB-cosB(cosA-sinA)^2=(sinB-cosB)^21-2sinAcosA=1-2sinBcos
已知三角形ABC的内角A,B及其对边a,b满足a+b=acotA+bcotB,求内角C.
由正弦定理可知a/sinA=b/sinB=R
∴acotA+bcotB=R(cosA+cosB)
a+b=RsinA+RsinB
∴cosA+cosB=sinA+sinB
cosA-sinA=sinB-cosB
(cosA-sinA)^2=(sinB-cosB)^2
1-2sinAcosA=1-2sinBcosB
2sinBcosB=2sinAcosA
sin2B=sin2A
即A=B或A=π/2-B
算到这里我都是会的,只是有一个疑问.
若A=π/2-B,则∠C=90
但是若A=B的话,sinA+sinB未必等于cosA+cosB啊.
除非A=B=45°.但是方程解出的答案不应该一定符合原方程吗?
这个地方怎么也转不过来弯了.
已知三角形ABC的内角A,B及其对边a,b满足a+b=acotA+bcotB,求内角C.由正弦定理可知a/sinA=b/sinB=R∴acotA+bcotB=R(cosA+cosB)a+b=RsinA+RsinB∴cosA+cosB=sinA+sinBcosA-sinA=sinB-cosB(cosA-sinA)^2=(sinB-cosB)^21-2sinAcosA=1-2sinBcos
从cosA-sinA=sinB-cosB
到(cosA-sinA)^2=(sinB-cosB)^2产生增根.
用和差化积:
sinA+sinB=2sin[(A+B)/2] *cos[(A-B)/2]
cosA+cosB=2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]
得tan[(A+B)/2]=1或cos[(A-B)/2]=0
即A+B=π/2或A-B=π(不合题意,舍去).
∴C=π/2.
另外:正弦定理:
a/sinA=b/sinB=2R
由正弦定理可知a/sinA=b/sinB=R
∴acotA+bcotB=R(cosA+cosB)
a+b=RsinA+RsinB
∴cosA+cosB=sinA+sinB
cosA-sinA=sinB-cosB
(cosA-sinA)^2=(sinB-cosB)^2
1-2sinAcosA=1-2sinBcosB
2sinBcosB=2sin...
全部展开
由正弦定理可知a/sinA=b/sinB=R
∴acotA+bcotB=R(cosA+cosB)
a+b=RsinA+RsinB
∴cosA+cosB=sinA+sinB
cosA-sinA=sinB-cosB
(cosA-sinA)^2=(sinB-cosB)^2
1-2sinAcosA=1-2sinBcosB
2sinBcosB=2sinAcosA
sin2B=sin2A
即 , A=B,或 A=π-B
又,A+B+C=π,A+B<π
∴A=B
此时a=b
∴有a+a=acotA+acotA
所以cotA=1
∴A=π/4=B,
∴C=π/2
收起