(n-1)!/0!+(m+1)!(n-1)!/1!+(m+2)!(n-1)!/2!+……+(m+n-1)!(n-1)!/(n-1)!=m!(m+n)!/(m+1)!m,n均为正整数
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/05 20:54:05
![(n-1)!/0!+(m+1)!(n-1)!/1!+(m+2)!(n-1)!/2!+……+(m+n-1)!(n-1)!/(n-1)!=m!(m+n)!/(m+1)!m,n均为正整数](/uploads/image/z/5459482-10-2.jpg?t=%28n-1%29%21%2F0%21%2B%28m%2B1%29%21%28n-1%29%21%2F1%21%2B%28m%2B2%29%21%28n-1%29%21%2F2%21%2B%E2%80%A6%E2%80%A6%2B%28m%2Bn-1%29%21%28n-1%29%21%2F%28n-1%29%21%3Dm%21%28m%2Bn%29%21%2F%28m%2B1%29%21m%2Cn%E5%9D%87%E4%B8%BA%E6%AD%A3%E6%95%B4%E6%95%B0)
(n-1)!/0!+(m+1)!(n-1)!/1!+(m+2)!(n-1)!/2!+……+(m+n-1)!(n-1)!/(n-1)!=m!(m+n)!/(m+1)!m,n均为正整数
(n-1)!/0!+(m+1)!(n-1)!/1!+(m+2)!(n-1)!/2!+……+(m+n-1)!(n-1)!/(n-1)!=m!(m+n)!/(m+1)!
m,n均为正整数
(n-1)!/0!+(m+1)!(n-1)!/1!+(m+2)!(n-1)!/2!+……+(m+n-1)!(n-1)!/(n-1)!=m!(m+n)!/(m+1)!m,n均为正整数
m!(n-1)!/0!+(m+1)!(n-1)!/1!+(m+2)!(n-1)!/2!+……+(m+n-1)!(n-1)!/(n-1)!
=m!(n-1)!* sigma(0,n-1)[C(m+k,k)]
然后用数学归纳法证明sigma(0,n-1)[C(m+k,k)]=C(m+n,n-1)
对于n=1、2很容易验证该公式正确
假设对所有n
式子化简:
左边=(n-1)![m!/0! + (m+1)m!/1! + (m+2)(m+1)m!/2! + ……]
=m!(n-1)![1 + (m+1)/1 + (m+2)(m+1)/2! + ……]
=m!(n-1)![C(m,0) + C(m+1,1) + C(m+2,2) + C(m+3,3) + …… + C(m+n-1,n-1)]
然后就可以分别对m,...
全部展开
式子化简:
左边=(n-1)![m!/0! + (m+1)m!/1! + (m+2)(m+1)m!/2! + ……]
=m!(n-1)![1 + (m+1)/1 + (m+2)(m+1)/2! + ……]
=m!(n-1)![C(m,0) + C(m+1,1) + C(m+2,2) + C(m+3,3) + …… + C(m+n-1,n-1)]
然后就可以分别对m,n进行数学归纳,具体归纳比较麻烦但是思路很简单,你可以试试看。
收起
用排列组合证
(m+k)!(n-1)!/k!=[m!(n-1)!]*C(m+k,k),其中C(m+k,k)=(m+k)!/(m!*k!)
而C(m+k,k)+C(m+k+1,k)=C(m+k+1,k+1),挨个递加即可得所求