四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是正方形,边长为a,PD=a,PA=PC=a根号2(1)求证:PD⊥平面ABCD;(2)求证:直线PB与AC垂直(3)求二面角A—PB—D的大小(4)在这四棱锥中放一个球,求球的最大半径;(5)
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/03 12:31:48
![四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是正方形,边长为a,PD=a,PA=PC=a根号2(1)求证:PD⊥平面ABCD;(2)求证:直线PB与AC垂直(3)求二面角A—PB—D的大小(4)在这四棱锥中放一个球,求球的最大半径;(5)](/uploads/image/z/5472200-56-0.jpg?t=%E5%9B%9B%E6%A3%B1%E9%94%A5P%E2%80%94ABCD%E4%B8%AD%2C%E5%BA%95%E9%9D%A2ABCD%E6%98%AF%E6%AD%A3%E6%96%B9%E5%BD%A2%2C%E8%BE%B9%E9%95%BF%E4%B8%BAa%2CPD%3Da%2CPA%3DPC%3Da%E6%A0%B9%E5%8F%B72%EF%BC%881%EF%BC%89%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9APD%E2%8A%A5%E5%B9%B3%E9%9D%A2ABCD%EF%BC%9B%EF%BC%882%EF%BC%89%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9A%E7%9B%B4%E7%BA%BFPB%E4%B8%8EAC%E5%9E%82%E7%9B%B4%EF%BC%883%EF%BC%89%E6%B1%82%E4%BA%8C%E9%9D%A2%E8%A7%92A%E2%80%94PB%E2%80%94D%E7%9A%84%E5%A4%A7%E5%B0%8F%EF%BC%884%EF%BC%89%E5%9C%A8%E8%BF%99%E5%9B%9B%E6%A3%B1%E9%94%A5%E4%B8%AD%E6%94%BE%E4%B8%80%E4%B8%AA%E7%90%83%2C%E6%B1%82%E7%90%83%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%A4%A7%E5%8D%8A%E5%BE%84%EF%BC%9B%EF%BC%885%EF%BC%89)
四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是正方形,边长为a,PD=a,PA=PC=a根号2(1)求证:PD⊥平面ABCD;(2)求证:直线PB与AC垂直(3)求二面角A—PB—D的大小(4)在这四棱锥中放一个球,求球的最大半径;(5)
四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是正方形,边长为a,PD=a,PA=PC=a根号2
(1)求证:PD⊥平面ABCD;(2)求证:直线PB与AC垂直(3)求二面角A—PB—D的大小(4)在这四棱锥中放一个球,求球的最大半径;(5)求四棱锥外接球的半径.
四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是正方形,边长为a,PD=a,PA=PC=a根号2(1)求证:PD⊥平面ABCD;(2)求证:直线PB与AC垂直(3)求二面角A—PB—D的大小(4)在这四棱锥中放一个球,求球的最大半径;(5)
1、底面ABCD是正方形,AB=BC=CD=AD=a,
PD=a,AD^2+PD^2=2a^2,AP^2=2a^2,
根据勾股逆定理,
△APD是RT△,
同理△PCD是RT△,
AD∩CD=D,
∴PD⊥平面ABCD.
2、连结底面对角线AC、BD,
则AC⊥BD,
由前所述,PD⊥平面ABCD,
根据三垂线定理,
∴PB⊥AC.
3、过PB中点F作FO⊥底面ABCD,垂足O,则O是对角线AC和BD交点,连结AF,
PB=√3a,则〈PAB=90度,〈PCB=90度,
S△PAB=√2a*a/2=√2a^2/2,
S△FAB==√2a^2/4,
S△FOB=S△PBD/4=√2a*a/2/4=√2a*a/8,
设二面角A-PB-D平面角为θ,
S△FOB=S△FAB*cosθ,
cosθ==(√2a*a/8)/(√2a^2/4)=1/2,
θ=60度.
二面角A—PB—D为度.
4、设内切球半径为r,内切球心为I,
则I至各平面距离为r,
连结I至多个顶点连线,把四棱锥分成5个小三棱锥,5个小三棱锥体积之和等于大四棱锥的体积.
r*(a^2/2+a^2/2+√2a*a/2+√2a*a/2+a^2)/3=a^2*a/3,
r=(2-√2)a.
最大球即是内切球,最大半径为(2-√2)a.
5、因△PAB、△PBC,△PDB都是以PB为斜边的RT△,
从PB中点F至A、B、C、D距离均是PB/2,
PB=√3a,
四棱锥外接球的半径R=PB/2=√3a/2.