设A为n阶非零实方阵,A*是A的伴随矩阵,AT是A的转置矩阵,当A*=AT时,证明|A|≠0 后面的一部分解答没看懂证明:由已知A*=A^T所以有 AA^T = AA* = |A|E.再由A为n阶非零实方阵,可设aij≠0.考虑 AA^T = |A|E 第i行
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/06 18:28:04
![设A为n阶非零实方阵,A*是A的伴随矩阵,AT是A的转置矩阵,当A*=AT时,证明|A|≠0 后面的一部分解答没看懂证明:由已知A*=A^T所以有 AA^T = AA* = |A|E.再由A为n阶非零实方阵,可设aij≠0.考虑 AA^T = |A|E 第i行](/uploads/image/z/624116-20-6.jpg?t=%E8%AE%BEA%E4%B8%BAn%E9%98%B6%E9%9D%9E%E9%9B%B6%E5%AE%9E%E6%96%B9%E9%98%B5%2CA%2A%E6%98%AFA%E7%9A%84%E4%BC%B4%E9%9A%8F%E7%9F%A9%E9%98%B5%2CAT%E6%98%AFA%E7%9A%84%E8%BD%AC%E7%BD%AE%E7%9F%A9%E9%98%B5%2C%E5%BD%93A%2A%3DAT%E6%97%B6%2C%E8%AF%81%E6%98%8E%7CA%7C%E2%89%A00+%E5%90%8E%E9%9D%A2%E7%9A%84%E4%B8%80%E9%83%A8%E5%88%86%E8%A7%A3%E7%AD%94%E6%B2%A1%E7%9C%8B%E6%87%82%E8%AF%81%E6%98%8E%3A%E7%94%B1%E5%B7%B2%E7%9F%A5A%2A%3DA%5ET%E6%89%80%E4%BB%A5%E6%9C%89+AA%5ET+%3D+AA%2A+%3D+%7CA%7CE.%E5%86%8D%E7%94%B1A%E4%B8%BAn%E9%98%B6%E9%9D%9E%E9%9B%B6%E5%AE%9E%E6%96%B9%E9%98%B5%2C%E5%8F%AF%E8%AE%BEaij%E2%89%A00.%E8%80%83%E8%99%91+AA%5ET+%3D+%7CA%7CE+%E7%AC%ACi%E8%A1%8C)
设A为n阶非零实方阵,A*是A的伴随矩阵,AT是A的转置矩阵,当A*=AT时,证明|A|≠0 后面的一部分解答没看懂证明:由已知A*=A^T所以有 AA^T = AA* = |A|E.再由A为n阶非零实方阵,可设aij≠0.考虑 AA^T = |A|E 第i行
设A为n阶非零实方阵,A*是A的伴随矩阵,AT是A的转置矩阵,当A*=AT时,证明|A|≠0 后面的一部分解答没看懂
证明:由已知A*=A^T
所以有 AA^T = AA* = |A|E.
再由A为n阶非零实方阵,可设aij≠0.
考虑 AA^T = |A|E 第i行第i列的元素,得
|A| = ai1^2+...+aij^2+...+ain^2 > 0
(因为 ai1,...,aij,...,ain 都是实数,且aij≠0)
所以 |A|≠0.
考虑 AA^T = |A|E 第i行第i列的元素,得|A| = ai1^2+...+aij^2+...+ain^2 > 0,这是怎么过来的?
设A为n阶非零实方阵,A*是A的伴随矩阵,AT是A的转置矩阵,当A*=AT时,证明|A|≠0 后面的一部分解答没看懂证明:由已知A*=A^T所以有 AA^T = AA* = |A|E.再由A为n阶非零实方阵,可设aij≠0.考虑 AA^T = |A|E 第i行
|A|E=AA^T,那么|A|E的第i行第i列的元素就是A的第i行元素与A^T的第i列的元素逐个相乘之和,
【逐个相乘就是A的第i行第1列的元素与A^T的第i列第1行的元素相乘,A的第i行第2列的元素与A^T的第i列第2行的元素相乘,...,A的第i行第j列的元素与A^T的第i列第j行的元素相乘,...,A的第i行第n列的元素与A^T的第i列第n行的元素相乘,
而A^T的第i列第j行的元素就是A的第i行第j列的元素,
然后求和就是AA^T的第i行第i列元素,也就是|A|E第i行第i列的元素】
也就是|A|E中第i行第i列的|A|=ai1^2+...+aij^2+...+ain^2
由于已经设aij≠0,所以|A|>0
这种题说半天i,j的,是很容易混乱。举个实际的例子就好了
A是4阶方阵,A23不为0(具体点,不妨假设A23=2好了),其它都是0。
A=
0 0 0 0
0 0 2 0
0 0 0 0
0 0 0 0
那AT=
0 0 0 0
0 0 0 0
0 2 0 0
0 0 0 0
考察AAT的第二行...
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这种题说半天i,j的,是很容易混乱。举个实际的例子就好了
A是4阶方阵,A23不为0(具体点,不妨假设A23=2好了),其它都是0。
A=
0 0 0 0
0 0 2 0
0 0 0 0
0 0 0 0
那AT=
0 0 0 0
0 0 0 0
0 2 0 0
0 0 0 0
考察AAT的第二行第二列的元素,就是A的第二行乘以了AT的第二列。
=0*0+0*0+2*2+0*0
=4
>0
而AAT又必定是单位阵E的整数倍,所以AAT的的所有对角线元素都应该是4,而且非对角线元素就是0
那必定有|A|不为0,(此处就是|A|=4)
收起
证明: 由已知A*=A^T
所以有 AA^T = AA* = |A|E.
再由A为n阶非零实方阵, 可设aij≠0.
考虑 AA^T = |A|E 第i行第i列的元素,得
|A| = ai1^2 ... aij^2 ... ain^2