如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,四边形ABCD中,AB⊥AD,AB+AD=4,CD=根号2,∠CDA=45°.(1)求证:平面PAB⊥平面PAD;(ii)设AB=AP(I) 若直线PB与平面PCD所成的角为30°,求线段AB的长.(II)在线段AD上是否存在一
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/04 22:54:08
![如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,四边形ABCD中,AB⊥AD,AB+AD=4,CD=根号2,∠CDA=45°.(1)求证:平面PAB⊥平面PAD;(ii)设AB=AP(I) 若直线PB与平面PCD所成的角为30°,求线段AB的长.(II)在线段AD上是否存在一](/uploads/image/z/7095501-45-1.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE%2C%E5%9B%9B%E6%A3%B1%E9%94%A5P-ABCD%E4%B8%AD%2CPA%E2%8A%A5%E5%BA%95%E9%9D%A2ABCD%2C%E5%9B%9B%E8%BE%B9%E5%BD%A2ABCD%E4%B8%AD%2CAB%E2%8A%A5AD%2CAB%2BAD%3D4%2CCD%3D%E6%A0%B9%E5%8F%B72%2C%E2%88%A0CDA%3D45%C2%B0.%EF%BC%881%EF%BC%89%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9A%E5%B9%B3%E9%9D%A2PAB%E2%8A%A5%E5%B9%B3%E9%9D%A2PAD%3B%EF%BC%88ii%EF%BC%89%E8%AE%BEAB%3DAP%28I%29+%E8%8B%A5%E7%9B%B4%E7%BA%BFPB%E4%B8%8E%E5%B9%B3%E9%9D%A2PCD%E6%89%80%E6%88%90%E7%9A%84%E8%A7%92%E4%B8%BA30%C2%B0%2C%E6%B1%82%E7%BA%BF%E6%AE%B5AB%E7%9A%84%E9%95%BF.%28II%29%E5%9C%A8%E7%BA%BF%E6%AE%B5AD%E4%B8%8A%E6%98%AF%E5%90%A6%E5%AD%98%E5%9C%A8%E4%B8%80)
如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,四边形ABCD中,AB⊥AD,AB+AD=4,CD=根号2,∠CDA=45°.(1)求证:平面PAB⊥平面PAD;(ii)设AB=AP(I) 若直线PB与平面PCD所成的角为30°,求线段AB的长.(II)在线段AD上是否存在一
如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,四边形ABCD中,AB⊥AD,AB+AD=4,CD=根号2,∠CDA=45°.(1)求证:
平面PAB⊥平面PAD;(ii)设AB=AP(I) 若直线PB与平面PCD所成的角为30°,求线段AB的长.(II)在线段AD上是否存在一个点G,使得点G到点P,B.C.D的距离都相等?说明理由.
如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,四边形ABCD中,AB⊥AD,AB+AD=4,CD=根号2,∠CDA=45°.(1)求证:平面PAB⊥平面PAD;(ii)设AB=AP(I) 若直线PB与平面PCD所成的角为30°,求线段AB的长.(II)在线段AD上是否存在一
(I)证明:∵PA⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD
∴PA⊥AB
又∵AB⊥AD,PA∩AD=A
∴AB⊥平面PAD
又∵AB⊂平面PAB,
∴平面PAB⊥平面PAD
(II)(i)以A为坐标原点,建立空间直角坐标系A-xyz(如图)
在平面ABCD内,作CE∥AB交于点E,则CE⊥AD
在Rt△CDE中,DE=CD•cos45°=1,
CE=CD•sin45°=1
设AB=AP=t,则B(t,0,0),P(0,0,t)
由AB+AD=4,得AD=4-t,
所以E(0,3-t,0),C(1,3-t,0),D(0,4-t,0)
CD=(-1,1,0),PD=(0,4-t,-t)
设平面PCD的法向量为 n=(x,y,x)
由n⊥CD,n⊥PD得
(ii)假设在线段AD上存在一个点G到P、B、C、D的距离都相等
由GC=GD,得∠GCD=∠GDC=45°
从而∠CGD=90°,即CG⊥AD
所以GD=CD•cos45°=1
设AB=λ,则AD=4-λ,AG=AD-GD=3-λ
在Rt△ABG中,
GB=
这GB=GD与矛盾.
所以在线段AD上不存在一个点G,使得点G到B、C、D的距离都相等.
从而,在线段AD上不存在一个点G,使得点G到点P、B、C、D的距离都相等.
(I)证明:∵PA⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD
∴PA⊥AB
又∵AB⊥AD,PA∩AD=A
∴AB⊥平面PAD
又∵AB⊂平面PAB,
∴平面PAB⊥平面PAD
(II)(i)以A为坐标原点,建立空间直角坐标系A-xyz(如图)
在平面ABCD内,作CE∥AB交于点E,则CE⊥AD ...
全部展开
(I)证明:∵PA⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD
∴PA⊥AB
又∵AB⊥AD,PA∩AD=A
∴AB⊥平面PAD
又∵AB⊂平面PAB,
∴平面PAB⊥平面PAD
(II)(i)以A为坐标原点,建立空间直角坐标系A-xyz(如图)
在平面ABCD内,作CE∥AB交于点E,则CE⊥AD
在Rt△CDE中,DE=CD•cos45°=1,
CE=CD•sin45°=1
设AB=AP=t,则B(t,0,0),P(0,0,t)
由AB+AD=4,得AD=4-t,
所以E(0,3-t,0),C(1,3-t,0),D(0,4-t,0)
CD =(-1,1,0), PD =(0,4-t,-t)
设平面PCD的法向量为 n =(x,y,x)
由 n ⊥ CD , n ⊥ PD ,得 -x+y=0 (4-t)y-tz=0
取x=t,得平面PCD的一个法向量为 n =(t,t,4-t)
又 PB =(t,0,-t),故由直线PB与平面PCD所成的角为30°得
cos(90°-30°)=1 2 =| n • PB | |n |•| PB |
即|2t2-4t| t2+0+(-t)2 t2+t2+(4-t)2 =1 2
解得t=4 5 或t=4(舍去,因为AD=4-t>0)
所以AB=4 5
(ii)假设在线段AD上存在一个点G到P、B、C、D的距离都相等
由GC=GD,得∠GCD=∠GDC=45°
从而∠CGD=90°,即CG⊥AD
所以GD=CD•cos45°=1
设AB=λ,则AD=4-λ,AG=AD-GD=3-λ
在Rt△ABG中,
GB= AB2+AG2 = λ2+(3-λ)2 = 2(λ -3 2 )2+9 2 >1
这GB=GD与矛盾.
所以在线段AD上不存在一个点G,使得点G到B、C、D的距离都相等.
从而,在线段AD上不存在一个点G,使得点G到点P、B、C、D的距离都相等.
收起
1,因为PA⊥面ABCD;AB在平面ABCD上,所以AB⊥PA ,又有AB⊥AD,所以AB⊥面PAD,又有AB在面PAB上,所以平面PAB⊥平面PAD.
2.A为原点建立空间直角坐标系。。写出各点坐标然后在套公式。。。。。。。。