已知n是整数,求证:如果2+2根号28n^2+1也是整数,那么它一定是一个整数的完全平方.28n平方+1在根号下
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/04 01:08:08
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已知n是整数,求证:如果2+2根号28n^2+1也是整数,那么它一定是一个整数的完全平方.28n平方+1在根号下
已知n是整数,求证:如果2+2根号28n^2+1也是整数,那么它一定是一个整数的完全平方.
28n平方+1在根号下
已知n是整数,求证:如果2+2根号28n^2+1也是整数,那么它一定是一个整数的完全平方.28n平方+1在根号下
证明:2+2根号28n^2+1他是完全平方数只有一个可能既为4
利用分解因式,分类讨论证明
证明:假如它是一个完全平方数
那么28n^2+1也是一个完全平方数
28n^2+1=a^2 ,a是非负整数
28n^2=a^2-1=(a+1)(a-1)
28n^2=2*2*7*n*n=(a+1)(a-1)
当(a+1)(a-1)≠0即a≠1时
讨论,2,2,7,n,n五个数字各自相乘组成两组数字相乘,
这两组数字之差的绝对值等于2
例如|2*2*7-n*n|=2 =>n=5至6之间的一个数(非整数)不符合
|2*7n-2*n|=12n=2 =>n=1/6也不符合
.
其他的你自己组合出来讨论,反正都不符合
当a=1时n=0
所以28n^2+1等于一个完全平方数时只能是等于1
原式为一个整数时他一定是一个完全平方数2+2根号1=4
得证!
没明白你的题目:2+2根号28n^2+1?
设2+2根号28n^2+1=a为整数,化简得
28n^2+1=[(a-2)/2]^2,
根据条件28n^2+1为完全平方数即整数,所以等式右边是整数,a就是偶数,不妨设a=2b,上式化简得
28n^2=b(b-2),
左边为4的倍数,右边b和b-2奇偶性相同,必然都是偶数,不妨设b=2k,上式化简得
7n^2=k(k-1),这时带入原式,可得2+2根号28n...
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设2+2根号28n^2+1=a为整数,化简得
28n^2+1=[(a-2)/2]^2,
根据条件28n^2+1为完全平方数即整数,所以等式右边是整数,a就是偶数,不妨设a=2b,上式化简得
28n^2=b(b-2),
左边为4的倍数,右边b和b-2奇偶性相同,必然都是偶数,不妨设b=2k,上式化简得
7n^2=k(k-1),这时带入原式,可得2+2根号28n^2+1=4k
熟知,k与k-1必然互质,而右边包含一个n^2,也就是说看k(k-1)分解质因数的结果必然是除一个7以外其他的质因子成对出现。每一对质因子不能由k和k-1平分,否则k和k-1就不互质。所以所有成对的质因子都分别有k或k-1单独拥有,而落单的一个7由两者之一包含,所以k或k-1必然有一个是完全平方数。
但k-1不可能是完全平方数,因为所有整数的完全平方数除7的余数是0,1,2,3,4,5,6,则所有整数的平方除7的完全平方数就是这7个余数的平方除7的余数,即0,1,4,2,2,4,1,即0、1、2、4,
根据上一段的分析,若k-1是完全平方数,则k就是7的倍数,但根据上面的余数规律,完全平方数加1后除7的余数只能是1、2、3、5,不可能被7整除,
而k是完全平方数时,当k除7余1时,k-1是7的倍数,是符合条件的
综上,k一定是完全平方数,所以4k一定是完全平方数,即2+2根号28n^2+1一定是整数的完全平方
事实上,n可以为0、24等,我不知道还有没有其他解,这个是另外的问题了
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