如图,在以O为圆心的两个同心圆中,小圆的半径长为2,大圆的弦AB与小圆交于点C、D,且AB=3CD,∠COD=60°.(1)求大圆半径的长;(2)若大圆的弦AE与小圆切于点F,求AE的长.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/03 23:46:08
![如图,在以O为圆心的两个同心圆中,小圆的半径长为2,大圆的弦AB与小圆交于点C、D,且AB=3CD,∠COD=60°.(1)求大圆半径的长;(2)若大圆的弦AE与小圆切于点F,求AE的长.](/uploads/image/z/8391450-66-0.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE%2C%E5%9C%A8%E4%BB%A5O%E4%B8%BA%E5%9C%86%E5%BF%83%E7%9A%84%E4%B8%A4%E4%B8%AA%E5%90%8C%E5%BF%83%E5%9C%86%E4%B8%AD%2C%E5%B0%8F%E5%9C%86%E7%9A%84%E5%8D%8A%E5%BE%84%E9%95%BF%E4%B8%BA2%2C%E5%A4%A7%E5%9C%86%E7%9A%84%E5%BC%A6AB%E4%B8%8E%E5%B0%8F%E5%9C%86%E4%BA%A4%E4%BA%8E%E7%82%B9C%E3%80%81D%2C%E4%B8%94AB%3D3CD%2C%E2%88%A0COD%3D60%C2%B0%EF%BC%8E%EF%BC%881%EF%BC%89%E6%B1%82%E5%A4%A7%E5%9C%86%E5%8D%8A%E5%BE%84%E7%9A%84%E9%95%BF%EF%BC%9B%EF%BC%882%EF%BC%89%E8%8B%A5%E5%A4%A7%E5%9C%86%E7%9A%84%E5%BC%A6AE%E4%B8%8E%E5%B0%8F%E5%9C%86%E5%88%87%E4%BA%8E%E7%82%B9F%2C%E6%B1%82AE%E7%9A%84%E9%95%BF%EF%BC%8E)
如图,在以O为圆心的两个同心圆中,小圆的半径长为2,大圆的弦AB与小圆交于点C、D,且AB=3CD,∠COD=60°.(1)求大圆半径的长;(2)若大圆的弦AE与小圆切于点F,求AE的长.
如图,在以O为圆心的两个同心圆中,小圆的半径长为2,大圆的弦AB与小圆交于点C、D,且AB=3CD,∠COD=60°.
(1)求大圆半径的长;
(2)若大圆的弦AE与小圆切于点F,求AE的长.
如图,在以O为圆心的两个同心圆中,小圆的半径长为2,大圆的弦AB与小圆交于点C、D,且AB=3CD,∠COD=60°.(1)求大圆半径的长;(2)若大圆的弦AE与小圆切于点F,求AE的长.
(1)过点O作OE⊥AB,
∵ OC=OD=2,∠COD=60°,AB=3CD
∴ CD=2,AB=6;
∵AE=1/2AB,∠A=∠COA=30°,
∴AE=3,AO=2√ 3;
(2)∵OF⊥AE,OF=2,AO=2√ 3,
∴AF=√(OA²-OF²)=2√ 2,
∴AE=2AF=4√ 2.
分析:(1)求大圆的半径,需通过构建直角三角形求解.连接OA,取AB的中点M,连接OM;在构建的Rt△OAM中,OM的长可在等边△OCD中求出,而AB=3CD=6,因此AM=3;根据勾股定理可求出OA即大圆的半径长.
(2)连接OF,由切线的性质知:OF⊥AE;根据垂径定理可得AF=
12AE;
由于AC=CD=2,可用切割线定理求出AF的长,进而可求出AE的长.(1)如...
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分析:(1)求大圆的半径,需通过构建直角三角形求解.连接OA,取AB的中点M,连接OM;在构建的Rt△OAM中,OM的长可在等边△OCD中求出,而AB=3CD=6,因此AM=3;根据勾股定理可求出OA即大圆的半径长.
(2)连接OF,由切线的性质知:OF⊥AE;根据垂径定理可得AF=
12AE;
由于AC=CD=2,可用切割线定理求出AF的长,进而可求出AE的长.(1)如图,在小圆中;
∵CO=DO,∠COD=60°;
∴△COD是等边三角形;
取CD的中点M,连接OM,则OM⊥CD;
∵CO=2,
∴OM=32CO=3.
连接AO,在Rt△AOM中,AM=32CD=3;
∴AO=OM2+AM2=3+9=23.
即大圆的半径长为23.
(2)连接OF.
∵AE是小圆的切线,且切点为F;
∴OF⊥AE.
又∵AE为大圆的弦,
∴AE=2AF.
由切割线定理,有:AF2=AC•AD;
∵AC=AD=2,AD=2CD,
∴AF=22;
∴AE=2AF=42.点评:本题主要考查了垂径定理、解直角三角形和切割线定理.求圆的弦长等问题一般要转化为解直角三角形的问题.
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