证明有限整环必定是域设(A,+,•)是一个有限整环,所以对于a,b,c∈A,且c≠0.若a≠b,则a•c≠b•c,再由运算的封闭性,就有A•c=A.对于乘法幺元1,由A•c=A,必有d∈A,使d•c=1,故d是c
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/04 18:11:40
![证明有限整环必定是域设(A,+,•)是一个有限整环,所以对于a,b,c∈A,且c≠0.若a≠b,则a•c≠b•c,再由运算的封闭性,就有A•c=A.对于乘法幺元1,由A•c=A,必有d∈A,使d•c=1,故d是c](/uploads/image/z/8565678-54-8.jpg?t=%E8%AF%81%E6%98%8E%E6%9C%89%E9%99%90%E6%95%B4%E7%8E%AF%E5%BF%85%E5%AE%9A%E6%98%AF%E5%9F%9F%E8%AE%BE%EF%BC%88A%2C%2B%2C%26%238226%3B%EF%BC%89%E6%98%AF%E4%B8%80%E4%B8%AA%E6%9C%89%E9%99%90%E6%95%B4%E7%8E%AF%2C%E6%89%80%E4%BB%A5%E5%AF%B9%E4%BA%8Ea%2Cb%2Cc%E2%88%88A%2C%E4%B8%94c%E2%89%A00.%E8%8B%A5a%E2%89%A0b%2C%E5%88%99a%26%238226%3Bc%E2%89%A0b%26%238226%3Bc%2C%E5%86%8D%E7%94%B1%E8%BF%90%E7%AE%97%E7%9A%84%E5%B0%81%E9%97%AD%E6%80%A7%2C%E5%B0%B1%E6%9C%89A%26%238226%3Bc%3DA.%E5%AF%B9%E4%BA%8E%E4%B9%98%E6%B3%95%E5%B9%BA%E5%85%831%2C%E7%94%B1A%26%238226%3Bc%3DA%2C%E5%BF%85%E6%9C%89d%E2%88%88A%2C%E4%BD%BFd%26%238226%3Bc%3D1%2C%E6%95%85d%E6%98%AFc)
证明有限整环必定是域设(A,+,•)是一个有限整环,所以对于a,b,c∈A,且c≠0.若a≠b,则a•c≠b•c,再由运算的封闭性,就有A•c=A.对于乘法幺元1,由A•c=A,必有d∈A,使d•c=1,故d是c
证明有限整环必定是域
设(A,+,•)是一个有限整环,
所以对于a,b,c∈A,且c≠0.若a≠b,则a•c≠b•c,
再由运算的封闭性,就有A•c=A.对于乘法幺元1,
由A•c=A,必有d∈A,使d•c=1,故d是c的乘法逆元.
因此,有限整环(A,+,•)是一个域.
证毕.
“再由运算的封闭性,就有A•c=A.对于乘法幺元1,
由A•c=A,必有d∈A,使d•c=1,故d是c的乘法逆元.”这是怎么来的?
抱歉,你的方法我也没理解..我是纯自学离散数学这门课的
证明有限整环必定是域设(A,+,•)是一个有限整环,所以对于a,b,c∈A,且c≠0.若a≠b,则a•c≠b•c,再由运算的封闭性,就有A•c=A.对于乘法幺元1,由A•c=A,必有d∈A,使d•c=1,故d是c
A•c是指A中所有元素分别右乘c后所得的元素的集合.所谓运算的封闭性是指两个A中的元素相乘,结果仍在A中.实际上题中由运算封闭性可得到A·c这一集合包含于A中.对于a,b,c∈A,且c≠0.若a≠b,则a•c≠b•c是指A·c的元素个数与A相同,从而A·c=A.
这时A·c中就有A的乘法单位元(也就是幺元),从而有D∈A·c使得D=1,另外,D又可以写成d·c(A·c的性质)其中d∈A.从而我们对于任意A中不为零的元素c都可以找到A中的元素d使得c·d=1,也就是c可逆
从而A是域
可以换种思路,因为a属于A,A是有限群,所以必存在这样的m,n使a^m=a^n(m≠n)
若不然,则a,a^2,a^3,……都不相同,因此A为无限群,矛盾!
因此a*a^(m-n-1)=1因此a可逆