设A为n阶方阵,B为n阶可逆阵,若存在正整数k使A^k=O,则矩阵方程AX=XB仅有零解方程两边左乘A^(k-1),A^(k)X=A^(k-1)XB=O对A^(k-1)XB=O右乘B的逆矩阵,A^(k-1)X=O由于A^(k-1)不恒为O,所以X=O这样证明对吗.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/06 15:48:49
![设A为n阶方阵,B为n阶可逆阵,若存在正整数k使A^k=O,则矩阵方程AX=XB仅有零解方程两边左乘A^(k-1),A^(k)X=A^(k-1)XB=O对A^(k-1)XB=O右乘B的逆矩阵,A^(k-1)X=O由于A^(k-1)不恒为O,所以X=O这样证明对吗.](/uploads/image/z/8751139-43-9.jpg?t=%E8%AE%BEA%E4%B8%BAn%E9%98%B6%E6%96%B9%E9%98%B5%2CB%E4%B8%BAn%E9%98%B6%E5%8F%AF%E9%80%86%E9%98%B5%2C%E8%8B%A5%E5%AD%98%E5%9C%A8%E6%AD%A3%E6%95%B4%E6%95%B0k%E4%BD%BFA%5Ek%3DO%2C%E5%88%99%E7%9F%A9%E9%98%B5%E6%96%B9%E7%A8%8BAX%3DXB%E4%BB%85%E6%9C%89%E9%9B%B6%E8%A7%A3%E6%96%B9%E7%A8%8B%E4%B8%A4%E8%BE%B9%E5%B7%A6%E4%B9%98A%5E%28k-1%29%2CA%5E%28k%29X%3DA%5E%28k-1%29XB%3DO%E5%AF%B9A%5E%28k-1%29XB%3DO%E5%8F%B3%E4%B9%98B%E7%9A%84%E9%80%86%E7%9F%A9%E9%98%B5%2CA%5E%28k-1%29X%3DO%E7%94%B1%E4%BA%8EA%5E%28k-1%29%E4%B8%8D%E6%81%92%E4%B8%BAO%2C%E6%89%80%E4%BB%A5X%3DO%E8%BF%99%E6%A0%B7%E8%AF%81%E6%98%8E%E5%AF%B9%E5%90%97.)
设A为n阶方阵,B为n阶可逆阵,若存在正整数k使A^k=O,则矩阵方程AX=XB仅有零解方程两边左乘A^(k-1),A^(k)X=A^(k-1)XB=O对A^(k-1)XB=O右乘B的逆矩阵,A^(k-1)X=O由于A^(k-1)不恒为O,所以X=O这样证明对吗.
设A为n阶方阵,B为n阶可逆阵,若存在正整数k使A^k=O,则矩阵方程AX=XB仅有零解
方程两边左乘A^(k-1),A^(k)X=A^(k-1)XB=O
对A^(k-1)XB=O右乘B的逆矩阵,A^(k-1)X=O
由于A^(k-1)不恒为O,所以X=O
这样证明对吗.
设A为n阶方阵,B为n阶可逆阵,若存在正整数k使A^k=O,则矩阵方程AX=XB仅有零解方程两边左乘A^(k-1),A^(k)X=A^(k-1)XB=O对A^(k-1)XB=O右乘B的逆矩阵,A^(k-1)X=O由于A^(k-1)不恒为O,所以X=O这样证明对吗.
要多说明一点,你取的k是最小的使得A^k=0的自然数k.
等等-由于A^(k-1)不恒为O,所以X=O-好像有问题...我想一下.
这句话应该是对的,但是我要证明的话要用到Jordan形式...(就是只有对角线上面有1的那种)
我想一下有没有简单的解...
简单点的解:
我们现在其实是要证明X->AX-XB这个线性映射是个单射.这个映射有个矩阵.
不难证明这个矩阵的特征值就是所有的(a-b),a和b为A或B的特征值.
但是A是幂零元,所以A的特征值都是0.
所以只剩下了B的特征值,但B的特征值都不是0因为B可逆.
所以X->AX-XB也是一个可逆的映射.
所以AX-XB的解唯一.但是X=0为显然解,所以是唯一解.
这样证明不对。 A^(k-1)X=O 只能说明 X 由0 列向量 或 A^(k-1) 的 零特根的特征向量组成。并不能得出 X=O, 除非A^(k-1) 没有零特根。 但由A^k=O 可知, A^(k-1) 的所有特征根都是0.
对于 AX + XB = C 这种类型的矩阵方程, 有个这样的结论:
AX + XB = C 有唯一解的充分必要条件是 A 与 -B 没有共同的特征值.
但是这个结论的证明我不记得了, 在文库里找到一个证明(见参考资料), 但证明方法不太好理解.
应用到你的题目中:
1. 由A是幂零矩阵, 所以其特征值都是0. 而B可逆, 故B的特征值都不为0, 故A与B...
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对于 AX + XB = C 这种类型的矩阵方程, 有个这样的结论:
AX + XB = C 有唯一解的充分必要条件是 A 与 -B 没有共同的特征值.
但是这个结论的证明我不记得了, 在文库里找到一个证明(见参考资料), 但证明方法不太好理解.
应用到你的题目中:
1. 由A是幂零矩阵, 所以其特征值都是0. 而B可逆, 故B的特征值都不为0, 故A与B没有共同的特征值.
2. 令C = 0, 取-B, 则有 AX+X(-B) = 0 有唯一解, 即 AX = XB 有唯一解.
3. X=0显然是一解, 故AX=XB仅有零解.
唉, 算是勉强解答了吧, 不完美
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