已知椭圆M:x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)的离心率为2√2/3,且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为6+4√2,设直线l与椭圆交于A、B两点,且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C,求三角形ABC面积的
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/06 13:16:10
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已知椭圆M:x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)的离心率为2√2/3,且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为6+4√2,设直线l与椭圆交于A、B两点,且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C,求三角形ABC面积的
已知椭圆M:x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)的离心率为2√2/3,
且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为6+4√2,设直线l与椭圆交于A、B两点,且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C,求三角形ABC面积的最大值
已知椭圆M:x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)的离心率为2√2/3,且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为6+4√2,设直线l与椭圆交于A、B两点,且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C,求三角形ABC面积的
的此题分两步解决:
第一步先求出椭圆方程:设椭圆半焦距为c
则 由题目条件知2a+2c=6+4√2(1) e=c/a=2√2/3 (2)
(1)(2)联立解得a=3 c=2√2 所以b=1
所以椭圆方程为:x^2/9+y^2=1
第二步利用参数方程法:先有题设的右顶点C(3,0)(因为a=3所以右顶点横坐标3)
设过C点的直线L1倾斜角为 α ,此直线与椭圆交于A点,
那么过C点倾斜角为 90+α 的直线L2交椭圆则为B点,
如此以AB为直径的园正好过C点且符合题意
过C点的L1参数方程:x=3+tcosα
y=tsinα
两式代入椭圆方程得:((cosα)^2+9(sinα)^2)t^2+6tcosα=0(3)
因为直线过C点所以(3)式有一解为0
另一解为│t1│=│CA│=│-6cosα/((cosα)^2+9(sinα)^2)│(4)
过C点的L2参数方程:x=3+tcos(90+α)=3-tsinα
y=tsin(90+α)=tcosα
同上L1代入(实际只需将最后结果(90+α)去代替(4)中的α即可)
得│t2│=│CB│=│6sinα/((sinα)^2+9(cosα)^2)│ (5)
三角形ABC面积=1/2×│CA││CB│
=1/2×│-6cosα/((cosα)^2+9(sinα)^2)││6sinα/((sinα)^2+9(cosα)^2)│
=9│2sinαcosα/(9+64(sinα)^2)(cosα)^2))│
=9│sin2α/(9+16(sin2α)^2))│
=9/16×│1/[9/(16sin2α)+(sin2α)]│ (6)
注意:对于 │ 9/(16sin2α)+(sin2α) │ 为打勾函数 因为 sin2α∈ [-1,1] 所以有最小值
当 sin2α=3/4时最小为 3/2 即 │1/[9/(16sin2α)+(sin2α)]│最大=2/3 代入(6)
三角形ABC面积最大= 9/16×2/3 = 3/8
参看网址 http://www.jyeoo.com/math2/ques/detail/f97f6912-54cb-4cdd-b84a-f9adfa0fbe99