如图,在正方形ABCD中,点E在AB上,AE=3,BE=1,点P为对角线AC上任意一点,连结PB、PE.当点P在AC上何处时,PB+PE取得最小值?请画出此时点P的位置,并求PB+PE的最小值.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/30 19:51:33
![如图,在正方形ABCD中,点E在AB上,AE=3,BE=1,点P为对角线AC上任意一点,连结PB、PE.当点P在AC上何处时,PB+PE取得最小值?请画出此时点P的位置,并求PB+PE的最小值.](/uploads/image/z/8971006-22-6.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE%2C%E5%9C%A8%E6%AD%A3%E6%96%B9%E5%BD%A2ABCD%E4%B8%AD%2C%E7%82%B9E%E5%9C%A8AB%E4%B8%8A%2CAE%3D3%2CBE%3D1%2C%E7%82%B9P%E4%B8%BA%E5%AF%B9%E8%A7%92%E7%BA%BFAC%E4%B8%8A%E4%BB%BB%E6%84%8F%E4%B8%80%E7%82%B9%2C%E8%BF%9E%E7%BB%93PB%E3%80%81PE.%E5%BD%93%E7%82%B9P%E5%9C%A8AC%E4%B8%8A%E4%BD%95%E5%A4%84%E6%97%B6%2CPB%2BPE%E5%8F%96%E5%BE%97%E6%9C%80%E5%B0%8F%E5%80%BC%3F%E8%AF%B7%E7%94%BB%E5%87%BA%E6%AD%A4%E6%97%B6%E7%82%B9P%E7%9A%84%E4%BD%8D%E7%BD%AE%2C%E5%B9%B6%E6%B1%82PB%2BPE%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%B0%8F%E5%80%BC.)
如图,在正方形ABCD中,点E在AB上,AE=3,BE=1,点P为对角线AC上任意一点,连结PB、PE.当点P在AC上何处时,PB+PE取得最小值?请画出此时点P的位置,并求PB+PE的最小值.
如图,在正方形ABCD中,点E在AB上,AE=3,BE=1,点P为对角线AC上任意一点,连结PB、PE.
当点P在AC上何处时,PB+PE取得最小值?请画出此时点P的位置,并求PB+PE的最小值.
如图,在正方形ABCD中,点E在AB上,AE=3,BE=1,点P为对角线AC上任意一点,连结PB、PE.当点P在AC上何处时,PB+PE取得最小值?请画出此时点P的位置,并求PB+PE的最小值.
在正方形ABCD中,点E在AB上,AE=3,BE=1,点P为对角线AC上任意一点,连结PB、PE.当点P在AC上何处时,PB+PE取得最小值?请画出此时点P的位置,并求PB+PE的最小值.
过E作EF⊥AC,垂足为F,并延长使之与AD相交于M,连接BM,则BM与AC的交点就是所要求的P;此时PE+PB=PM+PB=BM=5,是PB+PE的最小值.
证明:∵ABCD是正方形,AC是对角线,∴按上面的作图方法所得M与E 关于AC对称,即AC是EM
的垂直平分线,故PE=PM,于是PE+PB=PM+PB=BM;当F偏离现在的位置到 P₁时,BMP₁构成一个三角形,故必有P₁B+P₁M>BM.
BM是RT△ABM的斜边,AB=4,AM=3,故BM=5.
由于点E、点B在AC同一旁,为了便于观察PB+PE的长度,利用对称把点E移到AC的另一边,该对称点不妨设为F;
有对称性质知,PB+PF=PB+PE
由两点间线段最短知,点F与点B之间的连线长度最短,即BF最短
以AC为对称轴作E的对称点F,则PB+PE=PB+PF=BF,且EF⊥AC于点P,此时PB+PE取得最小值,
∵四边形ABCD是正方形
∴点F在AB...
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由于点E、点B在AC同一旁,为了便于观察PB+PE的长度,利用对称把点E移到AC的另一边,该对称点不妨设为F;
有对称性质知,PB+PF=PB+PE
由两点间线段最短知,点F与点B之间的连线长度最短,即BF最短
以AC为对称轴作E的对称点F,则PB+PE=PB+PF=BF,且EF⊥AC于点P,此时PB+PE取得最小值,
∵四边形ABCD是正方形
∴点F在AB上,且AF=AE=3,则△AEF为等腰三角形
∴在Rt△AEF中,EF=3倍根号2
∴PE=3/2倍根号2
∵AC为在正方形ABCD的对角线
∴∠PAE=45°
又EF⊥AC
∴AP=PE=3/2倍根号2
即点P在AC距点A3/2倍根号2上
收起
以AC为对称轴作E的对称点F,则PB+PE=PB+PF=BF,且EF⊥AC于点P,此时PB+PE取得最小值,
∵四边形ABCD是正方形
∴点F在AB上,且AF=AE=3,则△AEF为等腰三角形
∴在Rt△AEF中,EF=3倍根号2
∴PE=3/2倍根号2
∵AC为在正方形ABCD的对角线
∴∠PAE=45°
又EF⊥AC
∴AP=PE...
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以AC为对称轴作E的对称点F,则PB+PE=PB+PF=BF,且EF⊥AC于点P,此时PB+PE取得最小值,
∵四边形ABCD是正方形
∴点F在AB上,且AF=AE=3,则△AEF为等腰三角形
∴在Rt△AEF中,EF=3倍根号2
∴PE=3/2倍根号2
∵AC为在正方形ABCD的对角线
∴∠PAE=45°
又EF⊥AC
∴AP=PE=3/2倍根号2
即点P在AC距点A3/2倍根号2上
收起
无语,我在搜,都没答案,哭死
?
PB+PE
最小 值为 5
在 AD 上 设 一点 E',使得AE‘ =3,E’D = 1,且AC与EE’交与 点F。
容易得知 △AEP 全等于 △AE‘P,即 EP = EP’
所以 PB+PE = PB+PE'
当P点在 AC 上移动时,形成 △BPE',此时 PB+PE‘ >BE' ,当 P与F重合时,PB+PE‘= BE'
而△ABE’是...
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PB+PE
最小 值为 5
在 AD 上 设 一点 E',使得AE‘ =3,E’D = 1,且AC与EE’交与 点F。
容易得知 △AEP 全等于 △AE‘P,即 EP = EP’
所以 PB+PE = PB+PE'
当P点在 AC 上移动时,形成 △BPE',此时 PB+PE‘ >BE' ,当 P与F重合时,PB+PE‘= BE'
而△ABE’是直角三角形 ,所以 BE‘ = 5
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