a是实常数,函数f(x)对于任何的非零实数x都有f( 1 x )=af(x)-x-1,且f(1)=1,则不等式f(x)-x≥0的解集为( )
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/03 11:45:14
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a是实常数,函数f(x)对于任何的非零实数x都有f( 1 x )=af(x)-x-1,且f(1)=1,则不等式f(x)-x≥0的解集为( )
a是实常数,函数f(x)对于任何的非零实数x都有f( 1 x )=af(x)-x-1,且f(1)=1,则不等式f(x)-x≥0的解集为( )
a是实常数,函数f(x)对于任何的非零实数x都有f( 1 x )=af(x)-x-1,且f(1)=1,则不等式f(x)-x≥0的解集为( )
分析:根据f(1)=1,代入已知的等式中求出a的值,再把a的值代入等式得到一个关系式,记作①,把x换为1/x得到令一个关系式,记作②,把①代入②即可得到f(x)的解析式,把求出的f(x)代入不等式中,分x大于0和x小于0两种情况考虑,当x大于0时去分母时不等号方向不变,当x小于0时去分母不等号方向改变,分别求出相应的解集,求出两解集的并集即为原不等式的解集.
因为f(1)=1,所以f(1)=af(1)-2,即a-2=1,
解得a=3,所以f(1/x)=3f(x)-x-1①,
设1/x=t,得到f(t)=3f(1/t)-1/t-1,
即f(x)=3f(1/x)-1/x-1②,
将①代入②得:f(x)=3[3f(x)-x-1]-1/x-1,
化简得:f(x)=3x/8+1/8x+1/2,
代入不等式得:3/x8+1/8x+1/2-x≥0,
当x>0时,去分母得:5x²-4x-1≤0,即(5x+1)(x-1)≤0,
解得:-1/5≤x≤1,所以原不等式的解集为(0,1];
当x<0时,去分母得:5x²-4x-1≥0,即(5x+1)(x-1)≥0,
解得:x≥1或x≤-1/5,所以原不等式的解集为(-∞,-1/5],
综上,原不等式的解集为(-∞,-1/5]∪(0,1].
点评:此题考查了其他不等式的解法,考查了分类讨论的数学思想,是一道中档题.确定出f(x)的解析式是解本题的关键.