求一道线性代数求秩与其一个最高阶非零子式的题目的详解矩阵A(矩阵的括号省略了):1 -1 2 1 02 -2 4 2 03 0 6 -1 10 3 0 0 1求矩阵A的秩,并求一个最高阶非零子式
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/02 18:52:21
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求一道线性代数求秩与其一个最高阶非零子式的题目的详解矩阵A(矩阵的括号省略了):1 -1 2 1 02 -2 4 2 03 0 6 -1 10 3 0 0 1求矩阵A的秩,并求一个最高阶非零子式
求一道线性代数求秩与其一个最高阶非零子式的题目的详解
矩阵A(矩阵的括号省略了):
1 -1 2 1 0
2 -2 4 2 0
3 0 6 -1 1
0 3 0 0 1
求矩阵A的秩,并求一个最高阶非零子式
求一道线性代数求秩与其一个最高阶非零子式的题目的详解矩阵A(矩阵的括号省略了):1 -1 2 1 02 -2 4 2 03 0 6 -1 10 3 0 0 1求矩阵A的秩,并求一个最高阶非零子式
存在 可逆阵P 使得 PAP^(-1)=B
其中 B是分块矩阵,其左上角的 r*r 子阵B_11 可逆,其余3块都为0.
构造M0 = B + C,其中 C是分块矩阵,其右下角是 (n-r)*(n-r)的单位阵E_(n-r),其余3块都为0.
构造Mi,i=1,...,n-r,如下:
Mi 为对角阵,其对角线元素都为1,但有一个例外:第n-i+1个元素为0.
显然 B=M0*M1*...*M(n-r),其中 M0 可逆,r(Mi) = n-1,i=1,...,n-r.
所以 A=P^(-1)BP
= P^(-1)M0*M1*...*M(n-r)P
= D1*D2*.*D(n-r),
其中,D1= P^(-1)M0*M1,
Di = Mi,i = 2,...,n-r-1,
D(n-r)=M(n-r)*P,
为n-r个秩为n-1的n阶矩阵的乘积
1 -1 2 1 0
2 -2 4 2 0
3 0 6 -1 1
0 3 0 0 1
=
1 -1 2 1 0
0 0 0 0 0
0 3 0 -4 1
0 3 0 0 1
=
1 -1 2 1 0
0 3 0 0 1
0 0 0 ...
全部展开
1 -1 2 1 0
2 -2 4 2 0
3 0 6 -1 1
0 3 0 0 1
=
1 -1 2 1 0
0 0 0 0 0
0 3 0 -4 1
0 3 0 0 1
=
1 -1 2 1 0
0 3 0 0 1
0 0 0 -4 0
0 0 0 0 0
=
1 0 2 0 1/3
0 3 0 0 1
0 0 0 -4 0
0 0 0 0 0
因此秩为3
一个最高级非零子式为:
1 -1 2 1
3 0 6 -1
0 3 0 0
收起
先化为第一行1 0 2 0 1/3第二行0 1 0 0 1/3第三行0 0 0 1 0第四行0 0 0 0 0所以秩为3.其中一个非零子式为三阶单位矩阵