设实数a b c满足a平方+b平方+c平方=1 证明|a-b|,|b-c|,|c-a|中必有一个《2分之根号2
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/06 12:32:25
![设实数a b c满足a平方+b平方+c平方=1 证明|a-b|,|b-c|,|c-a|中必有一个《2分之根号2](/uploads/image/z/1124962-34-2.jpg?t=%E8%AE%BE%E5%AE%9E%E6%95%B0a+b+c%E6%BB%A1%E8%B6%B3a%E5%B9%B3%E6%96%B9%2Bb%E5%B9%B3%E6%96%B9%2Bc%E5%B9%B3%E6%96%B9%3D1+%E8%AF%81%E6%98%8E%7Ca-b%7C%2C%7Cb-c%7C%2C%7Cc-a%7C%E4%B8%AD%E5%BF%85%E6%9C%89%E4%B8%80%E4%B8%AA%E3%80%8A2%E5%88%86%E4%B9%8B%E6%A0%B9%E5%8F%B72)
设实数a b c满足a平方+b平方+c平方=1 证明|a-b|,|b-c|,|c-a|中必有一个《2分之根号2
设实数a b c满足a平方+b平方+c平方=1 证明|a-b|,|b-c|,|c-a|中必有一个《2分之根号2
设实数a b c满足a平方+b平方+c平方=1 证明|a-b|,|b-c|,|c-a|中必有一个《2分之根号2
不妨设a>=b>=c.令m=a-b,n=b-c.
则a=c+m+n,b=c+n.代入原方程,有
(c+m+n)^2+(c+n)^2+c^2=1.
3c^2+2(m+2n)c+(m^2+2mn+2n^2)=1
(c+(m+2n)/3)^2+(m^2+2mn+2n^2)/3-(m+2n)^2/9=1/3
所以必有(m^2+2mn+2n^2)/3-(m+2n)^2/9
假设|a-b|,|b-c|,|c-a|都大于等于2分之根号2
|a-b|>=2分之根号2
(a-b)^2>=1/2
a^2+b^2-2ab>=1/2(1)
同理
a^2+c^2-2ac>=1/2(2)
c^2+b^2-2cb>=1/2(3)
三式相加
2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)>=3/2
2(a^2+...
全部展开
假设|a-b|,|b-c|,|c-a|都大于等于2分之根号2
|a-b|>=2分之根号2
(a-b)^2>=1/2
a^2+b^2-2ab>=1/2(1)
同理
a^2+c^2-2ac>=1/2(2)
c^2+b^2-2cb>=1/2(3)
三式相加
2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)>=3/2
2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)=3(a^2+b^2+c^2)-(a+b+c)^2>=2(a^2+b^2+c^2)=3
矛盾
所以
|a-b|,|b-c|,|c-a|不能同时《2分之根号2
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