几何模型:条件:如图,A、B是直线l同旁的两个定点.在直线l上确定一点P,使PA+PB的值最小.方法:几何模型:条件:如图,A、B是直线l同旁的两个定点.在直线l上确定一点P,使PA+PB的值最小.方法:
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/04 17:55:15
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几何模型:条件:如图,A、B是直线l同旁的两个定点.在直线l上确定一点P,使PA+PB的值最小.方法:几何模型:条件:如图,A、B是直线l同旁的两个定点.在直线l上确定一点P,使PA+PB的值最小.方法:
几何模型:条件:如图,A、B是直线l同旁的两个定点.在直线l上确定一点P,使PA+PB的值最小.方法:
几何模型:条件:如图,A、B是直线l同旁的两个定点.
在直线l上确定一点P,使PA+PB的值最小.
方法:做点A关于直线l的对称点A’,连接A’B叫l与点P,则PA+PB=A’B的最小值(不用证明)
模型应用:
(1)
如图1,正方形ABCD的变长为2,E是AB的中点,P是AC上一动点,连接BD,由正方形的对称性可知,B与D关于直线AC对称.连接ED交AC于P,则PB+PE的最小值是____;
(2)
如图2.⊙O的半径为2,点A、B、C在⊙O上,OA⊥OB,∠AOC=60°,P是OB上一动点,求PA+PC的最小值;
(3)
如图3,∠AOB=45°,P是∠AOB内一点,PO=10,Q、R分别是OA、OB上的动点,求△PQR周长的最小值.(所有作图保留作图痕迹)
几何模型:条件:如图,A、B是直线l同旁的两个定点.在直线l上确定一点P,使PA+PB的值最小.方法:几何模型:条件:如图,A、B是直线l同旁的两个定点.在直线l上确定一点P,使PA+PB的值最小.方法:
⑴∵点B关于AC对称的点为D,
∴此时BP=DP,
∴BP+EP=DP+EP,
当点E、D、P不共线时,有DP+EP>ED,
当点E、D、P共线时,有DP+EP=ED,
∴DP+EP≥ED,
∴连结ED,与AC的交点就是所要求的点P,
ED=√(AD^2+AE^2)=√(4+1)=√5,
即BP+EP的最小值为√5;
⑵设点A关于直线OB的对称点为D,则DO⊥OB,DP=AP,
∴PA+PC=PD+PC,
由∠AOC=60°知∠DOC=120°,
当点C、D、P不共线时,PD+PC>CD,
当点C、D、P共线时,PD+PC=CD,
∴PD+PC≥CD,
过O作CD的垂线,垂足为E,则Rt△OEC与Rt△OED全等,
且∠DOE=∠COE=60°,
又OC=OD=2,
∴OE=1,
∴CE=DE=√3,
CD=2√3,
即PA+PC的最小值为2√3;
⑶设点P关于直线OA、OB的对称点分别为P1、P2,
则PQ=QP1,PR=RP2,
∴△PQR的周长PQ+PR+QR=QP1+RP2+QR,
连结P1P2,
当P1、P2、Q、R不共线时,QP1+RP2+QR>P1P2,
当P1、P2、Q、R共线时,QP1+RP2+QR=P1P2,
∴QP1+RP2+QR≥P1P2,
连结OP1、OP2,则OP1=OP2=OP=10,
∴∠P1OA=∠AOP,∠P2OB=∠BOP,
∴∠P1OP2=∠P1OA+∠AOP+∠P2OB+∠BOP
=2(∠AOP+∠BOP)=90°,
∴△P1OP2为等腰直角三角形,
∴P1P2=10√2,
∴△PQR的周长PQ+PR+QR最小值为10√2.