证明lnn/n^2在n趋于无穷时的极限为0
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/06 01:53:05
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证明lnn/n^2在n趋于无穷时的极限为0
证明lnn/n^2在n趋于无穷时的极限为0
证明lnn/n^2在n趋于无穷时的极限为0
|lnn/n^2-0|
为使
|lnn/n^2|
取N=[1/n]
当n>N时
|lnn/n^2-0|
lnn/n^2在n趋于无穷时的极限为0
lmn/n^2
=lm(1/n)
因为 n趋向于无穷,所以 1/n 趋向于0
所以n趋向于无穷时 lm(1/n)=0
应用两边夹法则或者洛毕达法则都可以证明,但是如果你这里的n是正整数集合,需要设定对应函数lnx/x^2,x属于正实数集。
两边夹法则:
1/x^2 < lnx/x^2 < x/x^2 (x > e),而1/x^2和x/x^2的极限均为0,所以lnx/x^2的极限也为0,同理得到lnn/n^2在n趋于无穷时的极限为0
洛毕达法则:
上下求导,得到
(1/x)/...
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应用两边夹法则或者洛毕达法则都可以证明,但是如果你这里的n是正整数集合,需要设定对应函数lnx/x^2,x属于正实数集。
两边夹法则:
1/x^2 < lnx/x^2 < x/x^2 (x > e),而1/x^2和x/x^2的极限均为0,所以lnx/x^2的极限也为0,同理得到lnn/n^2在n趋于无穷时的极限为0
洛毕达法则:
上下求导,得到
(1/x)/2x = 1/2x^2 极限均0,即lnn/n^2在n趋于无穷时的极限为0
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证一:
lim(n->+∞) lnn/n^2
=lim(x->+∞) lnx/x^2
=lim(x->+∞) (1/x)/2x
=lim(x->+∞) 1/2x^2
=0
证二:O'Stoltz 定理
lim(n->+∞) lnn/n^2
=lim(n->+∞) [ln(n+1)-lnn]/[(n+1)^2-n^2]
...
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证一:
lim(n->+∞) lnn/n^2
=lim(x->+∞) lnx/x^2
=lim(x->+∞) (1/x)/2x
=lim(x->+∞) 1/2x^2
=0
证二:O'Stoltz 定理
lim(n->+∞) lnn/n^2
=lim(n->+∞) [ln(n+1)-lnn]/[(n+1)^2-n^2]
=lim(n->+∞) ln(1+1/n)/[2n+1]
=0
证三:
0
证四:
lnn=∑(k=1,n-1) ln(1+1/k) 【=∑(k=1,n-1) ln(k+1)/k】
<∑(k=1,n-1) 1/k < n-1
lim(n->+∞) lnn/n^2 =0
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