三角形的面积公式S=[p(p-a)(p-b)(p-c)]^0.5 p=(a+b+c)*0.5 是怎样推出来的?
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/30 00:39:23
![三角形的面积公式S=[p(p-a)(p-b)(p-c)]^0.5 p=(a+b+c)*0.5 是怎样推出来的?](/uploads/image/z/14034857-41-7.jpg?t=%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%E7%9A%84%E9%9D%A2%E7%A7%AF%E5%85%AC%E5%BC%8FS%3D%5Bp%28p-a%29%28p-b%29%28p-c%29%5D%5E0.5+p%3D%28a%2Bb%2Bc%29%2A0.5+%E6%98%AF%E6%80%8E%E6%A0%B7%E6%8E%A8%E5%87%BA%E6%9D%A5%E7%9A%84%3F)
三角形的面积公式S=[p(p-a)(p-b)(p-c)]^0.5 p=(a+b+c)*0.5 是怎样推出来的?
三角形的面积公式S=[p(p-a)(p-b)(p-c)]^0.5 p=(a+b+c)*0.5 是怎样推出来的?
三角形的面积公式S=[p(p-a)(p-b)(p-c)]^0.5 p=(a+b+c)*0.5 是怎样推出来的?
设A,B,C为任意△ABC的三个顶点,则a、b、c为与之对应的三边.S=S△ABC.
∵a²=b²+c²-2bccosA b²=a²+c²-2accosB c²=a²+b²-2abcosC
∴cosA= (b²+c²-a²)/(2bc),cosB=(a²+c²-b²)/(2ac),
cosC=(a²+b²-c²)/(2ab);
∴S²=(bcsinA/2) ²=b²c²(1-cos²A)/4
=[4b²c²-(b²+c²-a²) ²]/16
=[a²(b²+c²-a²)+b²(a²+c²-b²)+c²(a²+b²-c²)]/16
=[a²(a+b+c)(b+c-a)+ b²(a+b+c)(a+c-b)+c²(a+b+c)(a+b-c)-2abc(a+b+c)]/16···①
=(a+b+c)[a²(b+c-a)+b²(a+c-b)+ c²(a+b-c)-2abc]/16
=(a+b+c)(b+c-a)(a²-b²-c²+2bc)/16···②
=(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)/16···③;
∴S=[(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)/16]^½ ···④
令p=(a+b+c)/2,得:
S=[p(p-a)(p-b)(p-c)] ^½.
注释:
① 先将括号内配方,然后再化简.如:a²(b²+c²-a²)=a²[(b+c)²-a²-2bc]=a²(a+b+c)(b+c-a)-2a²bc.
② 用长除法分解因式.
③ 同②.
④ X^½表示X的算术平方根.
这是海伦公式。用余璇定理和正玄定理联立即可推导出。
利用sinx=[1-(cosx)^2]^0.5