f(x)是定义在0到正无穷的增函数,f(xy)=f(x)+f(y),求不等式f(x)+f(x-2)大于0
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/06 17:42:32
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f(x)是定义在0到正无穷的增函数,f(xy)=f(x)+f(y),求不等式f(x)+f(x-2)大于0
f(x)是定义在0到正无穷的增函数,f(xy)=f(x)+f(y),求不等式f(x)+f(x-2)大于0
f(x)是定义在0到正无穷的增函数,f(xy)=f(x)+f(y),求不等式f(x)+f(x-2)大于0
首先,因为 f(xy)=f(x)+f(y),那么当x趋近于0时 ,有f(0)=f(0)+f(0),所以f(0)=0.
又因为 f(x)是定义在0到正无穷的增函数,所以f(x)>f(0)=0.
其次,因为f(x)+f(x-2)存在,所以有x>0,x-2>0.那么得出x>2.
最后,f(x)+f(x-2)=f[x(x-2)]=f(x²-2x)=f[(x-1)²-1]
因为[(x-1)²-1]>(2-1)²-1=0,所以f[(x-1)²-1]>f(0)=0
令,x=y=0,f(0)=2f(0),所以f(0)=0
又f(x) 单调增~~
f(x)+f(x-2) =f(x^2 -2x) > f(0)=0
x^2-2x>0,x(x-2)>0
x<0舍去,
x>2~~
由题意令y=1
则f(x)=f(x·1)=f(x)+f(1)
∴f(1)=0
又函数为增函数
∴有f(x(x-2))>0=f(1)
即x(x-2)>1,且x>0,x-2>0
解得x>1+√2
∴不等式解集为(1+√2,+∞)
首先令x=y=0则,f(0)=f(0)+f(0)得f(0)=0
由公式f(xy)=f(x)+f(y)得,f(x)+f(x-2)=f[x(x-2)]>0
即f(x)+f(x-2)=f[x(x-2)]>f(0)
由于f(x)为 在(0,正无穷)增函数,所以
x(x-2)>0
得x>2