以定点A(2,8)和动点B为焦点的椭圆经过点P(-4,0)、Q(2,0).(1)求动点B的轨迹方程;(2)是否存在实数k,使直线y=kx+2与上述B点轨迹的交点C,D恰好关于直线l:y=2x对称?如果存在,求出k的值;如果不存在
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/02 03:36:04
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以定点A(2,8)和动点B为焦点的椭圆经过点P(-4,0)、Q(2,0).(1)求动点B的轨迹方程;(2)是否存在实数k,使直线y=kx+2与上述B点轨迹的交点C,D恰好关于直线l:y=2x对称?如果存在,求出k的值;如果不存在
以定点A(2,8)和动点B为焦点的椭圆经过点P(-4,0)、Q(2,0).
(1)求动点B的轨迹方程;
(2)是否存在实数k,使直线y=kx+2与上述B点轨迹的交点C,D恰好关于直线l:y=2x对称?如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明理由.
以定点A(2,8)和动点B为焦点的椭圆经过点P(-4,0)、Q(2,0).(1)求动点B的轨迹方程;(2)是否存在实数k,使直线y=kx+2与上述B点轨迹的交点C,D恰好关于直线l:y=2x对称?如果存在,求出k的值;如果不存在
根据椭圆定义,椭圆上的点到两焦点的距离和等于定值,设B(x,y)
因为PA+PB=QA+QB(这里都是指长度)
所以由两点间距离公式 PA=10 PB=根号下(x+4)^2+y^2
QA=8 QB=根号下(x-2)^2+y^2
最后化简可得轨迹方程为
8x^2+16x-y^2=0 (x≤-2/3)
化简过程写起来太累了,我简单说一下,
原等式可化为PB=QB-2 然后两边平方,再化简,把剩下的唯一一个根号移到等式一边.我化到这儿时等式的另一边是个关于x的表达式,因为它等于一个根号所以此式也大于等于0,也就算出了x的定义域
这时两边再平方,化简即可得轨迹方程(上所求得的)
(2)要使C、D两点关于y=2x对称,则必有C、D所在直线与l垂直
即y=kx+2与y=2x垂直 易得k=-1/2
代入原直线与第一问求得的轨迹方程联立
所得的二元一次方程判别式>0,满足与B点轨迹有两交点
即存在实数k=-1/2,使直线y=kx+2与上述B点轨迹的交点C,D恰好关于直线l:y=2x对称