1、 证明:以x为未知数的方程:1、 证明:以x为未知数的方程 :a(b-c)x2+b(c-a)x+c(a-b)=0(a、b、c均不为零,且b≠c)有等根的充要条件是:1/a、 1/b、1/c 成等差数列.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/01 22:43:15
![1、 证明:以x为未知数的方程:1、 证明:以x为未知数的方程 :a(b-c)x2+b(c-a)x+c(a-b)=0(a、b、c均不为零,且b≠c)有等根的充要条件是:1/a、 1/b、1/c 成等差数列.](/uploads/image/z/1593617-41-7.jpg?t=1%E3%80%81+%E8%AF%81%E6%98%8E%EF%BC%9A%E4%BB%A5x%E4%B8%BA%E6%9C%AA%E7%9F%A5%E6%95%B0%E7%9A%84%E6%96%B9%E7%A8%8B%EF%BC%9A1%E3%80%81+%E8%AF%81%E6%98%8E%EF%BC%9A%E4%BB%A5x%E4%B8%BA%E6%9C%AA%E7%9F%A5%E6%95%B0%E7%9A%84%E6%96%B9%E7%A8%8B+%EF%BC%9Aa%28b-c%29x2%2Bb%28c-a%29x%2Bc%28a-b%29%3D0%EF%BC%88a%E3%80%81b%E3%80%81c%E5%9D%87%E4%B8%8D%E4%B8%BA%E9%9B%B6%2C%E4%B8%94b%E2%89%A0c%EF%BC%89%E6%9C%89%E7%AD%89%E6%A0%B9%E7%9A%84%E5%85%85%E8%A6%81%E6%9D%A1%E4%BB%B6%E6%98%AF%EF%BC%9A1%2Fa%E3%80%81+1%2Fb%E3%80%811%2Fc+%E6%88%90%E7%AD%89%E5%B7%AE%E6%95%B0%E5%88%97.)
1、 证明:以x为未知数的方程:1、 证明:以x为未知数的方程 :a(b-c)x2+b(c-a)x+c(a-b)=0(a、b、c均不为零,且b≠c)有等根的充要条件是:1/a、 1/b、1/c 成等差数列.
1、 证明:以x为未知数的方程:
1、 证明:以x为未知数的方程 :a(b-c)x2+b(c-a)x+
c(a-b)=0
(a、b、c均不为零,且b≠c)有等根的充要条件是:1/a、 1/b、1/c 成等差数列.
1、 证明:以x为未知数的方程:1、 证明:以x为未知数的方程 :a(b-c)x2+b(c-a)x+c(a-b)=0(a、b、c均不为零,且b≠c)有等根的充要条件是:1/a、 1/b、1/c 成等差数列.
∵a(b-c)x^2+b(c-a)x+c(a-b)=0有等根
∴Δ=[b(c-a)]^2-4[a(b-c)][c(a-b)]=0
a^2b^2+b^2c^2-2acb^2
-4bca^2+4acb^2+4a^2c^2-4abc^2=0,
a^2b^2+b^2c^2+2acb^2-4ac(ab+bc)+4a^2c^2=0
(ab+bc)^2-4ac(ab+bc)+4a^2c^2=0
(ab+bc-2ac)^2=0
∴ab+bc-2ac=0,
ab+bc=2ac,两边同除以abc得:(1/c)+(1/a)=2/b,
∴2/b=1/a+1/c
∴1/a,1/b,1/c成等差数列
1/a,1/b,1/c成等差数列推出a(b-c)x2+b(c-a)x+ c(a-b)=0 有等根
只要算Δ=0即可!
有等根则判别式等于0,即[b(c-a)]^2-4a(b-c)c(a-b)=0。
b^2(c-a)^2=4ac(b-c)(a-b)
两边同时除以a^2*b^2*c^2,则
(1/c-1/a)^2=4(1/c-1/b)(1/b-1/a)
即
1/c^2-2/ac+1/a^2=4(1/bc-1/b^2-1/ac+1/ab)
4/bc-4/b^2+4/ab-...
全部展开
有等根则判别式等于0,即[b(c-a)]^2-4a(b-c)c(a-b)=0。
b^2(c-a)^2=4ac(b-c)(a-b)
两边同时除以a^2*b^2*c^2,则
(1/c-1/a)^2=4(1/c-1/b)(1/b-1/a)
即
1/c^2-2/ac+1/a^2=4(1/bc-1/b^2-1/ac+1/ab)
4/bc-4/b^2+4/ab-(1/c^2+2/ac+1/a^2)=0
4/b^2-4/b(1/c+1/a)+(1/c+1/a)^2=0
(2/b-(1/c+1/a))^2=0
因此2/b=1/c+1/a,证毕。
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