如果以抛物线y^2=4x过焦点的弦为直径的园截y轴所得的弦长为4,求该圆的方程
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/04 18:58:15
![如果以抛物线y^2=4x过焦点的弦为直径的园截y轴所得的弦长为4,求该圆的方程](/uploads/image/z/1832117-5-7.jpg?t=%E5%A6%82%E6%9E%9C%E4%BB%A5%E6%8A%9B%E7%89%A9%E7%BA%BFy%5E2%3D4x%E8%BF%87%E7%84%A6%E7%82%B9%E7%9A%84%E5%BC%A6%E4%B8%BA%E7%9B%B4%E5%BE%84%E7%9A%84%E5%9B%AD%E6%88%AAy%E8%BD%B4%E6%89%80%E5%BE%97%E7%9A%84%E5%BC%A6%E9%95%BF%E4%B8%BA4%2C%E6%B1%82%E8%AF%A5%E5%9C%86%E7%9A%84%E6%96%B9%E7%A8%8B)
如果以抛物线y^2=4x过焦点的弦为直径的园截y轴所得的弦长为4,求该圆的方程
如果以抛物线y^2=4x过焦点的弦为直径的园截y轴所得的弦长为4,求该圆的方程
如果以抛物线y^2=4x过焦点的弦为直径的园截y轴所得的弦长为4,求该圆的方程
(请自己作图)
易求得:抛物线y^2=4x的焦点是F(1,0),准线是x=-1.
注意到:①以抛物线焦点弘为直径的圆必与准线相切;②圆截y轴所得弘长为4;
③圆与准线x=-1相切,且圆心在右半平面.因而设圆半径为r,必有:
r^2=(r-1)^2+2^2 ,从而解得,r=5/2.
若设圆心为M(a,b),则必有:a+1=r,所以a=3/2.
下面求b的值:为方便,记焦点弘的两个端点分别为A、B,显然|AB|=2r=5……(1)
注意到:弘AB的斜率为:k=(b-0)/(a-1)=2b,其方程为y=2b(x-1),
代入抛物线方程整理得:
x^2-(2+1/b^2)x+1=0
所以(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2=(2+1/b^2)^2-4 =1/b^4+4/b^2 …………(2)
而 (y1-y2)^2=k^2(x1-x2)^2=...=4/b^2+16 ………………………………(3)
注意到:(x1-x2)^2+(y1-y2)^2=|AB|^2
(1)、(2)、(3)代入上式解得:b=±1.
所以,圆的方程是(x-3/2)^2+(y-1)^2=25/4,或(x-3/2)^2+(y+1)^2=25/4.
1、求焦点
2、设抛物线的弦的第一象限端点横坐标m
3、用m和焦点坐标求出抛物线的弦长,得到圆的半径和圆心关于m的表达式
从而得到圆含参数m的表达式
4、将x=0代入圆的表达式,求出圆被y轴截得的弦长,该弦长为4,求出参数m的值。
5、得到圆的表达式。麻烦详细写下!自己做,我不会...
全部展开
1、求焦点
2、设抛物线的弦的第一象限端点横坐标m
3、用m和焦点坐标求出抛物线的弦长,得到圆的半径和圆心关于m的表达式
从而得到圆含参数m的表达式
4、将x=0代入圆的表达式,求出圆被y轴截得的弦长,该弦长为4,求出参数m的值。
5、得到圆的表达式。
收起
2p=4,p=2,焦点F(1,0),令x=1,得y=±2,故过焦点的弦长L=4,于时可设园的方程
为(x-a)²+y²=4,再令x=0,得y²=4-a²,故有4=4-a²,∴a=0,即满足题目要求的园的方程为:
x²+y²=4.