已知函数f(x)的定义域为R,对任意实数x,y均有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x大于0时,f(x)小于0.求证:(1)函数f(x)是奇函数;(2)函数f(x)在R上是减函数.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/02 03:14:02
![已知函数f(x)的定义域为R,对任意实数x,y均有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x大于0时,f(x)小于0.求证:(1)函数f(x)是奇函数;(2)函数f(x)在R上是减函数.](/uploads/image/z/1858839-15-9.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E5%87%BD%E6%95%B0f%EF%BC%88x%EF%BC%89%E7%9A%84%E5%AE%9A%E4%B9%89%E5%9F%9F%E4%B8%BAR%2C%E5%AF%B9%E4%BB%BB%E6%84%8F%E5%AE%9E%E6%95%B0x%2Cy%E5%9D%87%E6%9C%89f%28x%2By%29%3Df%28x%29%2Bf%28y%29%2C%E4%B8%94%E5%BD%93x%E5%A4%A7%E4%BA%8E0%E6%97%B6%2Cf%28x%29%E5%B0%8F%E4%BA%8E0.%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9A%EF%BC%881%EF%BC%89%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%E6%98%AF%E5%A5%87%E5%87%BD%E6%95%B0%EF%BC%9B%EF%BC%882%EF%BC%89%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%E5%9C%A8R%E4%B8%8A%E6%98%AF%E5%87%8F%E5%87%BD%E6%95%B0.)
已知函数f(x)的定义域为R,对任意实数x,y均有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x大于0时,f(x)小于0.求证:(1)函数f(x)是奇函数;(2)函数f(x)在R上是减函数.
已知函数f(x)的定义域为R,对任意实数x,y均有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x大于0时,f(x)小于0.
求证:(1)函数f(x)是奇函数;
(2)函数f(x)在R上是减函数.
已知函数f(x)的定义域为R,对任意实数x,y均有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x大于0时,f(x)小于0.求证:(1)函数f(x)是奇函数;(2)函数f(x)在R上是减函数.
(1)令X=Y=0 则f(0)=f(0)+f(0) 得f(0)=0
令Y=-X 则f(0)=f(X)+f(-X)=0
即f(x)=-f(-x)
又定义域为 符合条件 故该函数为奇函数
(2)令X1>X2 则f(X1)-f(X2)=f(X1)+f(-X2)=f(X1-X2)
∵X1>X2 故X1-X2>0
由题意 X>0时 f(x)<0
∴f(X1)-f(X2)=f(X1-X2)<0
所以该函数为减函数
(1) 令x=-y 带入 可得 f(0)=2f(0) 所以 f(0)=0
令y=-x 可得 f(-x)=-f(x) 所以 函数f(x)是奇函数;
(1)令X=Y=0 则f(0)=f(0)+f(0) 得f(0)=0
令Y=-X 则f(0)=f(X)+f(-X)=0
即f(x)=-f(-x)
又定义域为 符合条件 故该函数为奇函数
(2)令X1>X2 则f(X1)-f(X2)=f(X1)+f(-X2)=f(X1-X2)
...
全部展开
(1)令X=Y=0 则f(0)=f(0)+f(0) 得f(0)=0
令Y=-X 则f(0)=f(X)+f(-X)=0
即f(x)=-f(-x)
又定义域为 符合条件 故该函数为奇函数
(2)令X1>X2 则f(X1)-f(X2)=f(X1)+f(-X2)=f(X1-X2)
∵X1>X2 故X1-X2>0
由题意 X>0时 f(x)<0
∴f(X1)-f(X2)=f(X1-X2)<0
所以该函数为减函数
收起
(1)f(0)=f(0)+f(0)
∴f(0)=0
f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x)=0
∴f(-x)=-f(x)
所以f(x)为奇函数
( 2 )设X1
...
全部展开
(1)f(0)=f(0)+f(0)
∴f(0)=0
f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x)=0
∴f(-x)=-f(x)
所以f(x)为奇函数
( 2 )设X1
=f (x2)-f (x1)
=f (x2-x1)
∵X2>X1 即X>0
∴f (x)
f (x2)-f(x1)<0
f (x2)
∴f(x)在R上是减函数
收起