柯西、均值不等式的简单问题- -已知a+b+c=1且abc都为正数.求(a+1/a)2+(b+1/b)2+(c+1/c)2的最小值已知a+b+c=1且abc都为正数.求(a+1/a)2+(b+1/b)2+(c+1/c)2的最小值原式=a2+2+1/a2+b2+2+1/b2+c2+2+1/c2=(a2+b2+c2)+(1/a2+1/b2
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/01 22:27:22
![柯西、均值不等式的简单问题- -已知a+b+c=1且abc都为正数.求(a+1/a)2+(b+1/b)2+(c+1/c)2的最小值已知a+b+c=1且abc都为正数.求(a+1/a)2+(b+1/b)2+(c+1/c)2的最小值原式=a2+2+1/a2+b2+2+1/b2+c2+2+1/c2=(a2+b2+c2)+(1/a2+1/b2](/uploads/image/z/2449940-68-0.jpg?t=%E6%9F%AF%E8%A5%BF%E3%80%81%E5%9D%87%E5%80%BC%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F%E7%9A%84%E7%AE%80%E5%8D%95%E9%97%AE%E9%A2%98-+-%E5%B7%B2%E7%9F%A5a%2Bb%2Bc%3D1%E4%B8%94abc%E9%83%BD%E4%B8%BA%E6%AD%A3%E6%95%B0.%E6%B1%82%EF%BC%88a%2B1%2Fa%292%2B%28b%2B1%2Fb%292%2B%28c%2B1%2Fc%292%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%B0%8F%E5%80%BC%E5%B7%B2%E7%9F%A5a%2Bb%2Bc%3D1%E4%B8%94abc%E9%83%BD%E4%B8%BA%E6%AD%A3%E6%95%B0.%E6%B1%82%EF%BC%88a%2B1%2Fa%292%2B%28b%2B1%2Fb%292%2B%28c%2B1%2Fc%292%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%B0%8F%E5%80%BC%E5%8E%9F%E5%BC%8F%3Da2%2B2%2B1%2Fa2%2Bb2%2B2%2B1%2Fb2%2Bc2%2B2%2B1%2Fc2%3D%28a2%2Bb2%2Bc2%29%2B%281%2Fa2%2B1%2Fb2)
柯西、均值不等式的简单问题- -已知a+b+c=1且abc都为正数.求(a+1/a)2+(b+1/b)2+(c+1/c)2的最小值已知a+b+c=1且abc都为正数.求(a+1/a)2+(b+1/b)2+(c+1/c)2的最小值原式=a2+2+1/a2+b2+2+1/b2+c2+2+1/c2=(a2+b2+c2)+(1/a2+1/b2
柯西、均值不等式的简单问题- -已知a+b+c=1且abc都为正数.求(a+1/a)2+(b+1/b)2+(c+1/c)2的最小值
已知a+b+c=1且abc都为正数.求(a+1/a)2+(b+1/b)2+(c+1/c)2的最小值
原式=a2+2+1/a2+b2+2+1/b2+c2+2+1/c2=(a2+b2+c2)+(1/a2+1/b2+1/c2)+6
基本不等式得(a2+b2+c2)+(1/a2+1/b2+1/c2)+6>=2根号下[(a2+b2+c2)+(1/a2+1/b2+1/c2)]+6
柯西不等式得(a2+b2+c2)+(1/a2+1/b2+1/c2)>=3^2=9
所以(a2+b2+c2)+(1/a2+1/b2+1/c2)+6>=2根号9+6=12
这么做为什么不对啊- -
柯西、均值不等式的简单问题- -已知a+b+c=1且abc都为正数.求(a+1/a)2+(b+1/b)2+(c+1/c)2的最小值已知a+b+c=1且abc都为正数.求(a+1/a)2+(b+1/b)2+(c+1/c)2的最小值原式=a2+2+1/a2+b2+2+1/b2+c2+2+1/c2=(a2+b2+c2)+(1/a2+1/b2
问题在于两次放缩的等号不能同时成立, 所以得到的下界不能取到, 不是最小值.
其中均值不等式取等需要a²+b²+c² = 1/a²+1/b²+1/c².
而Cauchy不等式取等需要a²:b²:c² = 1/a²:1/b²:1/c², 得a² = b² = c².
在a+b+c = 1且a, b, c > 0的条件下有a = b = c = 1/3.
此时均值不等式等号不能成立.
求最小值的问题最好验证一下最小值能否取到.
我的方法是这样.
由Cauchy不等式或幂平均不等式有a²+b²+c² ≥ (a+b+c)²/3 = 1/3.
同理1/a²+1/b²+1/c² ≥ (1/a+1/b+1/c)²/3.
而由Cauchy不等式有1/a+1/b+1/c = (a+b+c)(1/a+1/b+1/c) ≥ 9.
于是1/a²+1/b²+1/c² ≥ 9²/3 = 27.
(a+1/a)²+(b+1/b)²+(c+1/c)² ≥ 1/3+27+6 = 100/3.
易见a = b = c = 1/3时等号成立, 故最小值为100/3.