已知a,b是实常数,求函数y=(x-a)²+(x-b)²的最小值①用a²+b²≥2ab得y≥2(x-a)(x-b)=2[x²-(a+b)x+ab] 当x=(a+b)/2时最小最小-(a-b)²/2②用a²+b²≥(a+b²/2 得(a-b)²/2
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/05 19:54:02
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已知a,b是实常数,求函数y=(x-a)²+(x-b)²的最小值①用a²+b²≥2ab得y≥2(x-a)(x-b)=2[x²-(a+b)x+ab] 当x=(a+b)/2时最小最小-(a-b)²/2②用a²+b²≥(a+b²/2 得(a-b)²/2
已知a,b是实常数,求函数y=(x-a)²+(x-b)²的最小值
①用a²+b²≥2ab得y≥2(x-a)(x-b)=2[x²-(a+b)x+ab] 当x=(a+b)/2时最小
最小-(a-b)²/2
②用a²+b²≥(a+b²/2 得(a-b)²/2 这是正确的 1 错在那里
已知a,b是实常数,求函数y=(x-a)²+(x-b)²的最小值①用a²+b²≥2ab得y≥2(x-a)(x-b)=2[x²-(a+b)x+ab] 当x=(a+b)/2时最小最小-(a-b)²/2②用a²+b²≥(a+b²/2 得(a-b)²/2
y(x)=(x-a)²+(x-b)²
1)方法1:用导数求极值
y'(x)=2(x-a)+2(x-b)=2[2x-(a+b)];y‘’(x)=4>0
令:y'(x)=0,解出:x*=(a+b)/2
使y(x*) 为最小值:y(x*)=(a-b)²/2
2)方法2:用二次函数配方法求极值
y(x)=2[x²-(a+b)x+(a²+b²)/2]
=2[x²-2(a+b)x/2+(a+b)²/4 +(a²+b²)/2-(a+b)²/4]
=2{[x-(a+b)/2]²+(a-b)²/4}
可见:x=(a+b)/2 使y(x)取最小值:(a-b)²/2.
3)方法3:利用不等式:A²+B²>=2AB同样可得正确结果,但得区分A,B的正负,对于A,B异号的
情况,不等式自然成立,此时应写成:
y=(x-a)²+(x-b)²>=2(x-a)(b-x)=-2[x²-(a+b)x+ab]=-2{[x-(a+b)/2]²+ab-(a+b)²/4}
当x=(a+b)/2时,y的最小值:为 -2ab+(a+b)²/2=(a-b)²/2
对于:A=B时,x=a=b y的最小值为0.