已知函数F(X)满足:F(1)=1/4,4F(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y),求F(2010)=网上有这个类似的回答,但是还是不太详细。
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/05 20:49:31
![已知函数F(X)满足:F(1)=1/4,4F(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y),求F(2010)=网上有这个类似的回答,但是还是不太详细。](/uploads/image/z/3756936-48-6.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E5%87%BD%E6%95%B0F%EF%BC%88X%EF%BC%89%E6%BB%A1%E8%B6%B3%EF%BC%9AF%EF%BC%881%EF%BC%89%3D1%2F4%2C4F%28x%29f%EF%BC%88y%29%3Df%28x%2By%29%2Bf%28x-y%29%2C%E6%B1%82F%EF%BC%882010%EF%BC%89%3D%E7%BD%91%E4%B8%8A%E6%9C%89%E8%BF%99%E4%B8%AA%E7%B1%BB%E4%BC%BC%E7%9A%84%E5%9B%9E%E7%AD%94%EF%BC%8C%E4%BD%86%E6%98%AF%E8%BF%98%E6%98%AF%E4%B8%8D%E5%A4%AA%E8%AF%A6%E7%BB%86%E3%80%82)
已知函数F(X)满足:F(1)=1/4,4F(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y),求F(2010)=网上有这个类似的回答,但是还是不太详细。
已知函数F(X)满足:F(1)=1/4,4F(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y),求F(2010)=
网上有这个类似的回答,但是还是不太详细。
已知函数F(X)满足:F(1)=1/4,4F(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y),求F(2010)=网上有这个类似的回答,但是还是不太详细。
令x=1,y=0
得4f(1)f(0)=2f(1)
f(0)=2*1/4=1/2
再令 y=1
得 f(x)=f(x+1)+f(x-1)----①
f(x-1)=f(x)+f(x-2)----②
①②相加得 f(x+1)+f(x-2)=0
令A=x-3
得到f(x-2)+f(x-5)=0
又因为f(x-2)=-f(x+1)
所以得到f(x-5)=f(x+1)
1-(-5)=6
即最小正周期为6
因为2010能被6整除
所以f(2010)=f(6*335)=f(0)=1/2
令x = n, y = 1:
4F(n) F(1) = F(n+1) + F(n-1)
=> F(n+1) = F(n) - F(n-1)
=> F(n+1) = (F(n-1) - F(n-2)) - F(n-1) (用上边的等式替换F(n))
=> F(n+1) = -F(n-2)
=> F(n) = -F(n-3) = F(n-6)
因...
全部展开
令x = n, y = 1:
4F(n) F(1) = F(n+1) + F(n-1)
=> F(n+1) = F(n) - F(n-1)
=> F(n+1) = (F(n-1) - F(n-2)) - F(n-1) (用上边的等式替换F(n))
=> F(n+1) = -F(n-2)
=> F(n) = -F(n-3) = F(n-6)
因此可以看出这个数列(将n看为自然数)是以六为周期的。
2010能被6整除,因此F(2010) = F(0) = 0.5
(4F(1)F(0) = F(1) + F(1) => F(0) = 0.5)
不知道算错了没:P
收起
4f(x)f(1)=f(x+1)+f(x-1)=f(x)
即f(x+1)-f(x)+f(x-1)=0
x取x+1
f(x+2)-f(x+1)+f(x)=0
两式相加
f(x+2)+f(x-1)=0,即f(x+3)=-f(x)
即f(x+6)=-f(x+3)=f(x),说明周期为6
4f(1)f(0)=f(1)+f(1),f(0)=1/2
又2010/6=335,整除
所以f(2010)=a<2010>=a<0>=1/2