已知PA垂直于ABCD,ABCD为矩形,PA=AD,M,N分别是AB,PC的中点,求证(1)MN平行于平面PAD,(2)平面...已知PA垂直于ABCD,ABCD为矩形,PA=AD,M,N分别是AB,PC的中点,求证(1)MN平行于平面PAD,(2)平面PMC垂直平面
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/02 00:49:15
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已知PA垂直于ABCD,ABCD为矩形,PA=AD,M,N分别是AB,PC的中点,求证(1)MN平行于平面PAD,(2)平面...已知PA垂直于ABCD,ABCD为矩形,PA=AD,M,N分别是AB,PC的中点,求证(1)MN平行于平面PAD,(2)平面PMC垂直平面
已知PA垂直于ABCD,ABCD为矩形,PA=AD,M,N分别是AB,PC的中点,求证(1)MN平行于平面PAD,(2)平面...
已知PA垂直于ABCD,ABCD为矩形,PA=AD,M,N分别是AB,PC的中点,求证(1)MN平行于平面PAD,(2)平面PMC垂直平面PDC
已知PA垂直于ABCD,ABCD为矩形,PA=AD,M,N分别是AB,PC的中点,求证(1)MN平行于平面PAD,(2)平面...已知PA垂直于ABCD,ABCD为矩形,PA=AD,M,N分别是AB,PC的中点,求证(1)MN平行于平面PAD,(2)平面PMC垂直平面
证明:
⑴
设PD的中点为E,连接AE、NE
∵N、E分别是PC、PD的中点
∴NE∥CD且NE=1/2CD
又四边形ABCD是矩形
∴AB∥CD且AB=CD
∴NE∥AB且NE=1/2AB
又M是AB的中点
∴AM=1/2AB
∴AM=NE且AM∥NE
故四边形AMNE是平行四边形
∴MN∥AE
而AE在平面PAD内,MN不在平面PAD内
∴MN∥平面PAD
⑵
∵PA=AD,E是PD的中点
∴AE⊥PD
又PA⊥平面ABCD,而CD在平面ABCD内
∴PA⊥CD
而CD⊥AD
∴CD⊥平面PAD
∴CD⊥AE
∵PD∩CD=D
∴AE⊥平面PDC
而MN∥AE
∴MN⊥平面PDC
又MN在平面PMC内
∴平面PMC⊥平面PDC.
1)方法一:取PD中点E,连接NE,AE ∴MN// 面PAD; 2)∵PA=AD,∴△PAD为等腰直角三角形 且 CD∩PD=D ,则 AE ⊥平面PDC 1)方法二:取CD的中点Q,连接MQ、NQ 利用中位线,证明MQ、NQ分别平行于AD、PD,进而可得平面MNQ//平面PAD,故MN//平面PAD。
则 EN=1/2CD=1/2AB=AM,
且 EN//CD//AB//AM,
∴ 四边形AMNE为平行四边形,
∴ MN// AE,又MN面PAD,AE
面PAD
又 E为PD中点, ∴AE⊥PD
∵PA⊥平面ABCD
∴ PA⊥CD
又∵四边形ABCD是矩形
AD⊥CD
且 PA∩AD=D , PA、AD平面PAD ,
∴CD⊥平面PAD, 则AE⊥CD
由1)知 MN// AE ∴MN⊥平面PDC。