若非零函数f(x)对任意实数a.b均有f(a+b)=f(a)•f(b),且当x1,(1)求证:f(x)>0 (2)求证:f(x)为减函数 (3)当f(4)=1/16时解不等式f(x-3)•f(6-2x)≤1/4
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/05 20:33:59
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若非零函数f(x)对任意实数a.b均有f(a+b)=f(a)•f(b),且当x1,(1)求证:f(x)>0 (2)求证:f(x)为减函数 (3)当f(4)=1/16时解不等式f(x-3)•f(6-2x)≤1/4
若非零函数f(x)对任意实数a.b均有f(a+b)=f(a)•f(b),且当x1,(1)求证:f(x)>0 (2)求证:f(x)为减函数 (3)当f(4)=1/16时解不等式f(x-3)•f(6-2x)≤1/4
若非零函数f(x)对任意实数a.b均有f(a+b)=f(a)•f(b),且当x1,(1)求证:f(x)>0 (2)求证:f(x)为减函数 (3)当f(4)=1/16时解不等式f(x-3)•f(6-2x)≤1/4
(1)令a=0,则 f(0+b)=f(0)•f(b) 即 f(b)=f(0)•f(b),因为f(x)为非零函数,f(b)≠0,
所以f(0)=1>0 ;
设 x<0,则f(x)>1>0,且 -x>0,
1=f(0)=f(x+(-x))=f(x)•f(-x),
所以 f(-x)=1/f(x)>0
综上,对 x∈R,总有 f(x)>0
(2)设a<b,则a-b<0,f(a-b)>1,又由(1)知,f(b)>0,
所以f(a)-f(b)=f((a-b)+b)-f(b)=f(a-b)·f(b)-f(b)=f(b)[f(a-b)-1]>0
所以f(x)为R上的减函数.
(3)f(4)=f(2+2)=f(2)·f(2)=1/16,因为f(x)>0,故f(2)=1/4
f(x-3)•f(6-2x)≤1/4等价于
f[(x-3)+(6-2x)]≤f(2)
由(2)知,f(x)为R上的减函数,故
(x-3)+(6-2x)≥2
解得 x≤1
由题意得
(1)f(0+a)=f(0)×f(a),即f(a)=f(0)×f(a),所以f(0)=1
当a,b互为相反数时,有f(a+b)=f(0)=f(a)×f(b),即f(a)×f(b)=1,所以f(x)×f(-x)=1
又x<0时,f(x)>1,所以,x<0时,0
(2)当...
全部展开
由题意得
(1)f(0+a)=f(0)×f(a),即f(a)=f(0)×f(a),所以f(0)=1
当a,b互为相反数时,有f(a+b)=f(0)=f(a)×f(b),即f(a)×f(b)=1,所以f(x)×f(-x)=1
又x<0时,f(x)>1,所以,x<0时,0
(2)当x1>0,x2>0时,x1+x2>x1,x1+x2>x2,f(x1+x2)-f(x1)=f(x1)f(x2)-f(x1)=f(x1)(f(x2)-1)
又0
当x3<0,x4<0时,x3+x4
所以,f(x)在(-∞,0)上单调递减。
综上,题中结论得证。
(3)由x^2=x-3得,f(x^2=x-3)×f(5-x^2)=f(x^2+(5-x^2))=f(5)
f(4)=f(2)×f(2)=1/16,而f(x)>0,所以f(2)=1/4
f(x)是减函数,所以f(5)<=f(2),题中结论得证。
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