高数证明题:设f(x)及g(x)在闭区间ab上连续,且f(x)≥g(x),证明:若∫(a,b)f(x)dx=∫(a,b)g(x)dx,则在闭区间ab上f(x)≡g(c)
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/06 16:08:00
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高数证明题:设f(x)及g(x)在闭区间ab上连续,且f(x)≥g(x),证明:若∫(a,b)f(x)dx=∫(a,b)g(x)dx,则在闭区间ab上f(x)≡g(c)
高数证明题:设f(x)及g(x)在闭区间ab上连续,且f(x)≥g(x),证明:若∫(a,b)f(x)dx=∫(a,b)g(x)dx,则在闭区间ab上f(x)≡g(c)
高数证明题:设f(x)及g(x)在闭区间ab上连续,且f(x)≥g(x),证明:若∫(a,b)f(x)dx=∫(a,b)g(x)dx,则在闭区间ab上f(x)≡g(c)
假设f(x)≡g(c)在ab上并不是处处成立,∵两函数在ab上连续,且f(x)>=g(x)
∴必有闭区间cd包含于ab使f(x)>g(x)
∴∫(c,d)f(x)dx > ∫(c,d)g(x)dx
∴∫(a,c)f(x)dx + ∫(c,d)f(x)dx + ∫(d,b)f(x)dx>
∫(a,c)g(x)dx + ∫(c,d)g(x)dx + ∫(d,b)g(x)dx
即∫(a,b)f(x)dx>∫(a,b)g(x)dx
与题设矛盾,所以假设不成立
∴闭区间ab上f(x)≡g(c)
g(c)??
假设f(x)不恒等于g(x) ,令F(x)=f(x)-g(x)因为f(x)>=g(x) 则F(x)>=0
则存在某一点c∈[a,b]使得F(c)>0
有函数的连续性知存在δ>0,使得F(x)在区间(c-δ,c+δ)大于0
那么∫(c-δ-->c+δ)F(x)>0 这与∫(a-->b)F(x)dx=0 矛盾
所以假设不成立 ,即f(x)恒等于g(x)不要用定积分的性...
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假设f(x)不恒等于g(x) ,令F(x)=f(x)-g(x)因为f(x)>=g(x) 则F(x)>=0
则存在某一点c∈[a,b]使得F(c)>0
有函数的连续性知存在δ>0,使得F(x)在区间(c-δ,c+δ)大于0
那么∫(c-δ-->c+δ)F(x)>0 这与∫(a-->b)F(x)dx=0 矛盾
所以假设不成立 ,即f(x)恒等于g(x)
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