设f(x)是定义在正实数集上的函数,并且对任意的正实数xy,恒有f(xy)=f(x)+f(y)成立求证(1) f(1/x)=-f(x)(2) 若n属于正实数集,则f(x/n)=f(x)-f(n)
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/04 19:49:53
![设f(x)是定义在正实数集上的函数,并且对任意的正实数xy,恒有f(xy)=f(x)+f(y)成立求证(1) f(1/x)=-f(x)(2) 若n属于正实数集,则f(x/n)=f(x)-f(n)](/uploads/image/z/4349249-17-9.jpg?t=%E8%AE%BEf%28x%29%E6%98%AF%E5%AE%9A%E4%B9%89%E5%9C%A8%E6%AD%A3%E5%AE%9E%E6%95%B0%E9%9B%86%E4%B8%8A%E7%9A%84%E5%87%BD%E6%95%B0%2C%E5%B9%B6%E4%B8%94%E5%AF%B9%E4%BB%BB%E6%84%8F%E7%9A%84%E6%AD%A3%E5%AE%9E%E6%95%B0xy%2C%E6%81%92%E6%9C%89f%28xy%29%3Df%28x%29%2Bf%28y%29%E6%88%90%E7%AB%8B%E6%B1%82%E8%AF%81%281%29+f%281%2Fx%29%3D-f%28x%29%282%29+%E8%8B%A5n%E5%B1%9E%E4%BA%8E%E6%AD%A3%E5%AE%9E%E6%95%B0%E9%9B%86%2C%E5%88%99f%28x%2Fn%29%3Df%28x%29-f%28n%29)
设f(x)是定义在正实数集上的函数,并且对任意的正实数xy,恒有f(xy)=f(x)+f(y)成立求证(1) f(1/x)=-f(x)(2) 若n属于正实数集,则f(x/n)=f(x)-f(n)
设f(x)是定义在正实数集上的函数,并且对任意的正实数xy,恒有f(xy)=f(x)+f(y)成立
求证
(1) f(1/x)=-f(x)
(2) 若n属于正实数集,则f(x/n)=f(x)-f(n)
设f(x)是定义在正实数集上的函数,并且对任意的正实数xy,恒有f(xy)=f(x)+f(y)成立求证(1) f(1/x)=-f(x)(2) 若n属于正实数集,则f(x/n)=f(x)-f(n)
证明:
(1)
由于:f(xy)=f(x)+f(y)
则:令x=y=1
则有:
f(1*1)=f(1)+f(1)
f(1)=2f(1)
则:f(1)=0
再令:y=1/x
则有:
f[x*(1/x)]=f(x)+f(1/x)
f(1)=f(x)+f(1/x)
又:f(1)=0
则:
0=f(x)+f(1/x)
f(1/x)=-f(x)
(2)由于:
n属于正实数集
则:(1/n)属于正实数集
则有:
f[x/n]+f(n)=f[(x/n)*n]
即:
f(x/n)=f(x)-f(n)
(1)取x=1 f(y)=f(y)+f(1) f(1)=0
再取y=1/x
f(x*1/x)=f(x)+f(1/x)=f(1)=0
所以f(1/x)=-f(x)
(2)取y=1/n
f(xy)=f(x/n)=f(x)+f(1/n)
由(1)知:f(1/n)=-f(n)
所以f(x/n)=f(x)-f(n)
证明:
(1)另y=x=1,得f(1)=f(1)+f(1),f(1)=0
另y=1/x,得f(1)=f(x)+f(1/x),0=f(x)+f(1/x), f(1/x)=-f(x)
(2) f(x/n)=f[x×(1/n)]=f(x)+f(1/n)=f(x)-f(n)