设a1,a2,a3是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系,试证: b1=a1+2a2+a3,b2=2a1+3a2+4a3,b3=3a1+4a2+3a3也可作Ax=0的基础解系要过程
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/05 12:53:01
![设a1,a2,a3是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系,试证: b1=a1+2a2+a3,b2=2a1+3a2+4a3,b3=3a1+4a2+3a3也可作Ax=0的基础解系要过程](/uploads/image/z/4480503-15-3.jpg?t=%E8%AE%BEa1%2Ca2%2Ca3%E6%98%AF%E9%BD%90%E6%AC%A1%E7%BA%BF%E6%80%A7%E6%96%B9%E7%A8%8B%E7%BB%84AX%3D0%E7%9A%84%E4%B8%80%E4%B8%AA%E5%9F%BA%E7%A1%80%E8%A7%A3%E7%B3%BB%2C%E8%AF%95%E8%AF%81%3A+b1%3Da1%2B2a2%2Ba3%2Cb2%3D2a1%2B3a2%2B4a3%2Cb3%3D3a1%2B4a2%2B3a3%E4%B9%9F%E5%8F%AF%E4%BD%9CAx%3D0%E7%9A%84%E5%9F%BA%E7%A1%80%E8%A7%A3%E7%B3%BB%E8%A6%81%E8%BF%87%E7%A8%8B)
设a1,a2,a3是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系,试证: b1=a1+2a2+a3,b2=2a1+3a2+4a3,b3=3a1+4a2+3a3也可作Ax=0的基础解系要过程
设a1,a2,a3是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系,试证: b1=a1+2a2+a3,b2=2a1+3a2+4a3,b3=3a1+4a2+3a3也可作Ax=0的基础解系
要过程
设a1,a2,a3是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系,试证: b1=a1+2a2+a3,b2=2a1+3a2+4a3,b3=3a1+4a2+3a3也可作Ax=0的基础解系要过程
首先,齐次线性方程组的解的线性组合仍是方程组的解
所以,b1,b2,b3 是Ax=0 的解.
还需证两点:
1.b1,b2,b3 线性无关
2.任一解可由b1,b2,b3 线性表示
事实上这两点可用下方法一次证明出来.
(b1,b2,b3) = (a1,a2,a3)A
其中 A =
1 2 3
2 3 4
1 4 3
第1列是b1表示成 a1,a2,a3 的组合系数,其余类似.
计算一下A的行列式,|A| = 4≠0.所以A可逆.
所以有 (b1,b2,b3)A^(-1) = (a1,a2,a3)
即 a1,a2,a3 可由 b1,b2,b3 线性表示
所以 a1,a2,a3 与 b1,b2,b3 等价
这说明了两点:
1.r(b1,b2,b3)=r(a1,a2,a3) = 3,故 b1,b2,b3 线性无关
2.由a1,a2,a3是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系
任一解都可由 a1,a2,a3 线性表示
所以 任一解也可由 b1,b2,b3 线性表示.
故 b1,b2,b3 是 Ax=0 的基础解系.
请琢磨一下这个证法,很有用的!
有问题请消息我或追问