关于整数系数多项式的证明 急 1.f(x),g(x),h(x)是整数系数的多项式 满足f(x)=g(x)h(x)p是质数,如果p是f(x)所有的系数的约数,证明一下p也是g(x),h(x)的所有系数的约数!2.f(x)是整数系数的多项式 ,有理
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/05 21:02:39
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关于整数系数多项式的证明 急 1.f(x),g(x),h(x)是整数系数的多项式 满足f(x)=g(x)h(x)p是质数,如果p是f(x)所有的系数的约数,证明一下p也是g(x),h(x)的所有系数的约数!2.f(x)是整数系数的多项式 ,有理
关于整数系数多项式的证明 急
1.f(x),g(x),h(x)是整数系数的多项式 满足f(x)=g(x)h(x)
p是质数,如果p是f(x)所有的系数的约数,证明一下p也是g(x),h(x)的所有系数的约数!
2.f(x)是整数系数的多项式 ,有理数系数多项式g(x),h(x)存在,满足f(x)=g(x)h(x),这个时候,证明一下整数系数多项式g(x),h(x)存在并满足f(x)=g(x)h(x)
第一道 打错了 最后一句证明一下p也是g(x)或者h(x)的所有系数的约数!
关于整数系数多项式的证明 急 1.f(x),g(x),h(x)是整数系数的多项式 满足f(x)=g(x)h(x)p是质数,如果p是f(x)所有的系数的约数,证明一下p也是g(x),h(x)的所有系数的约数!2.f(x)是整数系数的多项式 ,有理
1、反证法:
(为表达方便,记a=b(mod c)表示a除以c余数为b,或者说a,b对于c同余)
(原本应该写作三杠的等号)
p是f(x)所有的系数的约数
=>
f(x)可表示为
f(x)=ax^n+bx^(n-1)+.
=(a'*p)x^n+(b'*p)x^(n-1)+...
=p*(a'x^n+b'x^(n-1)+.)
其中a=a'*p,.且a'.皆为整数
=>
f(x)=0(mod p)
假若题设结论不成立
即
p不是g(x)也不是h(x)的所有系数的约数
=>
g(x)无法表示为g(x)=p*g'(x)(g'中系数皆为整数)
(这一步若要更详细点,再用一次反正假设)
同样的
h(x)也不可
=>
g(x)=Gp不=0(mod p)以及h(x)=Hp不=0(mod p)
=>
g(x)h(x)=Gp*Hp不=0(mod p)
(这一步乘法若需要更详细证明,可用(mp+Gp)*(np+Hp)展开来证)
这与
f(x)=0(mod p)矛盾
=>
题设结论正确
证毕
2、
这道题的原题可以等价的写作一个小定理:
“一个整系数多项式在有理数域上可约的充要条件是在整数域中可约”
1>充分条件
很显然,只要把满足f(x)=g(x)h(x)的整数系数的h(x),g(x)
分别乘以r和1/r就可以得到有理数样式了
(具体的r视情况而定,
最简单的,比如取一个比所有系数都大的素数)
2>必要条件(就是本题所需的证明!)
根据题设,已存在有:
f(x)=g(x)h(x),g与h系数都是有理数
对于g(比如g(x)=2/3x+4/9)
设其系数分母公约数为q(比如对于上式,q=9)
则
q*g(x)是一个整数系数多项式
(比如9*(2/3x+4/9)=6x+4是整数系数多项式)
将q*g(x)系数中的最大公约数p提出来(比如对于6x+4,p=2)
记作q/p*g(x)=g1(x)
(比如对于上式:9/2*(2/3x+4/9)=3x+2)
那么g1(x)为本原多项式(即系数皆为整数且互素)
简写为
g(x)=m*g1(x)
同理,对于h(x),简写为
h(x)=n*h1(x)
(m,n皆为有理数)
=>
f(x)=h(x)*g(x)
=mn*g1(x)*h1(x)
其中
g1(x)*h1(x)仍然是个本原多项式(“本原相乘亦本原”,反证法可以证明)
现在证明mn为整数:
设mn=a/b(a/b为最简有理式,即,a,b互素)
由于f(x)=a/b*g1(x)*h1(x)为整数系数多项式
=>
b能整除a与[g1(x)*h1(x)]每一项系数的乘积
又a,b互素
=>
b能整除[g1(x)*h1(x)]每一项系数
由于[g1(x)*h1(x)]是个本原多项式(前已说明,易证!)
即[g1(x)*h1(x)]的各项系数互素
即最大公约数为1
=>
b=1
=>
f(x)=a/b*g1(x)*h1(x)
=a*g1(x)*h1(x)
显然将
a乘入到g1或h1后
就可以得到两个整数系数多项式
也即
整数系数多项式g(x),h(x)存在并满足f(x)=g(x)h(x)
证毕!
(万一还有看不懂的,请再提出来)
1.f(x)=2x^2+4x+2
g(x)=x+1
h(x)=2x+2
p=2
结论不成立!